LTI系统的时域频率复频域分析

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1、LTI系统的复频域分析本章主要内容：LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述LTI系统的频域分析线性时不变系统的时域、频域与复频域分析1LTI系统的描述用描述系统；用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述；用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）；用系统频率响应或系统函数21.用单位冲激响应和单位脉冲响应表示LTI系统一、LTI系统时域分析32.用微分和差分方程描述的因果LTI系统一个LTI系统的数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。对于因果系统，当输入为0时，输出也

2、为0。也就是说对于因果LTI系统，其输出的初始状态为零，此时的输出常称为系统的零状态响应。系统分析时，往往不是通过微分/差分方程的时域求解，而是通过频域或复频域分析来求解方程。但是对离散LTI系统，其差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的应用。4（1）线性常系数微分方程(LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation，LCCDE)均为常数一阶系统二阶系统5（2）线性常系数差分方程(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation，LCCDE)一般的

3、线性常系数差分方程可表示为：一阶系统二阶系统6对于差分方程，可以将其改写为：可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n](-M≤n≤0)，还要知道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]…y[-N]都为0，于是可以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得y[1],依次类推可求出所有y[n]。由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程（recursiveequation）。（3）线性常系数差分方程的时域

4、递归解法7解：8（1）离散时间系统基本单元:A.加法器B.放大器(乘以系数)C.单位延时器一阶差分方程:相加延时相乘a3.LTI系统的方框图表示D9(2)连续时间系统一阶微分方程:微分相加相乘基本单元:A.加法器B.放大器C.积分器a10例：写出右图所示系统的差分方程由加法器可写出等式：例：画出由微分方程所描述的LTI系统的框图将方程写为：依上式可画出系统框图如右图当系统框图中有多个积分器或延时器时，就可以描述高阶系统，其对应的方程为高阶微分方程或差分方程。11例：某连续LTI系统的系统框图如下，求系统的微分方程解由图可知第一个和第二个积分器的输入

5、分别为，根据加法器的输入输出关系有所以系统的微分方程为:+3-212例：求下图所示系统的微分方程21++--13例：求下图所示系统的差分方程x[n]f[n]f[n-1]14例：某连续LTI系统的系统框图如下，求系统的微分方程4解选图中右端积分器的输出为中间变量f(t)，则其输入为f'(t)，左端积分器的输入为f''(t)，如图所示。写出左端加法器的输出右端加法器的输出:所以系统的微分方程为:由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:15二.LTI系统的频域分析1.LTI系统的频域分析和频率响应根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,其过程为:1.

6、由2.根据系统的描述，求出3.4.16从信号分解观点分析对于任意x(t),可以分解为无穷多特征函数的线性组合，每一个特征函数对应的系数为频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。17由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。鉴于与是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。仅当LTI系统是稳定系统时，即：其频率响应存在18---幅频特性（幅频响应）---相频特性（相频响应）系统的输出响应y(t)令：19对LCC

7、DE两边进行傅立叶变换：由于故有：2.由LCCDE描述的因果LTI系统的频域分析可见由LCCDE描述的因果LTI系统其频率特性是一个有理函数。由做反变换，可以求得对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行。20例：描述一因果LTI系统的微分方程为：求系统的频率响应，并求时系统的响应解：系统方程两边作FTx(t)为单边指数函数，其FT为系统的频率响应函数由傅里叶逆变换求y(t)21例：可见，对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。22解法一：时域递归解法例：描述一离散因果LTI系统的差分方程为：求系统

8、的频率响应设，则23解法二：频域解法例：描述一离散因果LTI系统的差分方程为：求系统的频率响应24例：某连续LTI系统的系