中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上3

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1、2-1计算导数的方法与技巧一.方法指导1.利用导数定义求导(P45中3(1))2.用导数公式和求导法则求导(P46中3(2))复合函数求导法则隐函数求导法则参数方程求导法则3.特殊求导方法对数求导法利用一阶微分形式不变性(P49中4(3))14、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数25.高阶导数的求法(P49中4)(1)递推归纳求出(2)利用莱布尼兹公式(3)转化间接求出(4)参数方程求高阶导数6.初等函数在定义区间内可导;界点处按左、右导数定义讨论.若f(x)在界点处左

2、连续,左近旁可导,这是因为(参考P86例15)分段函数分段求导,(右)存在,(右)3二.实例分析例1.求下列函数在指定点处的导数:求求且对任意x有设求解:(1)4(2)求且对任意x有设求(3)5(4)设其中n为正整数，（       ）；解因为2012考研A、B、C、D、62、设是由方程的隐函数，则；解将代入方程得方程两边对x求导得则再求导得，即所确定2012考研73、设函数；解由的表达式可知，则2012考研8例2.设试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求(P53例3)解:时时9利用在处可导,即思考:必有是否为连续函

3、数?10例3.设求复合函数的导数,并讨论的连续性.解:1112例4设函数解(2005考研），则在内（）；A、处处可导；B、恰有一个不可导点；C、恰有两个不可导点；D、至少有三个不可导点。在显然可导，13例4设函数解(2005考研），则在内（）；A、处处可导；B、恰有一个不可导点；C、恰有两个不可导点；D、至少有三个不可导点。在分段点处，所以为不可导点；则共有2个不可导点。C处，，所以在分段点为不可导点；14例5设函数解(2005考研）连续，求极限令原式由积分中值定理或原式15例6.设有求解:在中,令得令x=1,得C=0

4、,故16例7.设函数的反函数及均存在,且求解:及172.试从导出解：同样可求(见P103题4)18例7.设函数的反函数及均存在,且求及19例8、求的值，使函数在处可导，并求解函数在x=0处连续有则函数在x=0处可导有20例9.设曲线方程为求解:已知曲线的参数方程为则21例10.设函数(2005考研）是由参数方程在处的法线与x轴交点的横坐标.解时，，解得由于的定义域为，所以，该处法线的斜率为法线方程，令，得为法线与x轴交点的横坐标。求曲线确定，22例11.求下列函数的n阶导数:解:(1)23例12设解得，求由公式和莱布尼

5、茨公式24例13试确定常数的值解根据题设和洛必达法则，由于得解得使得(2006考研）252-2微分中值定理的理解及其应用方法(P65)一.方法指导1.微分中值定理的理解及它们之间的关系(1)几个中值定理的关系(P71图2-4)26罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理27(2)中值定理的条件是充分的,但非必要.可适当减弱.因此例如,设在内可导,且则至少存在一点使证:设辅助函数显然在上连续,在内可导,由罗尔定理可知,存在一点使即阅读P85例13,例1428二.实例分析例1.当时,试证(P76例2)证:设当时,

6、在上满足拉氏中值定理条件,因此有解出,则时29又因及在单调递增,于是说明:中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界.302、(1)证明拉格朗日中值定理，若函数(2009考研）证明（1）令在上连续，在内可导，则存在使得由题意可知在上连续，在内可导，根据罗尔定理可得，存在使得且即存在使得，31第三讲导数的计算方法及微分中值定理的应用322、(2)证明：若函数(2009考研）证明（2）对于任意的在处连续，在内可导，且,则存在，且，函数在上连续，在内可导，由右导数定义及拉格朗日中由于,

7、故存在，且值定理有33例2.设函数在内可导,且证明在内有界.(P77例3)证:取点再取异于的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得(界于与之间)令则对任意即在内有界.34例3.设在上连续,在证明存在内可导,且使证:因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立.在35例4.设函数在上二阶可导,且证明至少存在一点使分析:在结论中将换为得积分证:设辅助函数因在上满足罗尔定理条件,所以存在因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有使36例5.设函数在上连续,在但当时内可导,且求证对任意自然数n,必

8、有使分析:在结论中换为得积分因所以证:设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即37例6.设在上连续,在证明存在内可导,且使证:转化为证设辅助函数由于它在满足拉氏中值定理条件,(P118题8)即证因此存在使38再对转化为证在上用拉氏中值定理,则存在使因此39例7（1）证明方程在内有且仅有一个实根。（2）记上式方，证明存在，并