沟股定理的探究素材

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1、应用拼图法证勾股定理勾股定理是几何中重要的定理之一，长期以来，人们对它进行了大量的研究，找到了许多不同的证明方法，这些证法不仅证明了定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展．目前世界上可以查到证明勾股定理的方法不下几百种，大多是通过构建特殊图形来证明的．下面介绍几种著名的拼图方法，供同学们参考．（一）茄菲尔德总统拼图如图1，在直角梯形中，上底为a，下底为b，高为a＋b．梯形中有三个直角三角形，其中两个小的直角三角形全等．方法如下：设梯形面积为S，则S＝（a＋b）（a＋b）＝a２＋b２＋ab，S＝ab＋ab＋c２＝c２＋ab．比较上面两式，则有a２＋b２＝c２．（

2、二）达·芬奇拼图如图2，，，，，由于两个大正方形面积相等，显然a２＋b２＝c２．（三）赵爽的“赵爽弦图”如图3，在边长为c的正方形中，有四个斜边长为c的全等的直角三角形，它们的直角边长分别为a，b，利用这个图形证明勾股定理（这是我国古代数学家赵爽的拼图），方法如下：∵大正方形的边长为c，设其面积为S，小正方形的边长为a－b，∴S＝c２，S＝(a－b)２＋4×ab＝a２－2ab＋b２＋2ab＝a２＋b２，∴a２＋b２＝c２．（四）刘徽的“青朱出入图”如图4，三角形ABC为直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方．以盈补虚，将朱、青二方并成弦方．依其面积关系有a２＋

3、b２＝c２．“青朱出入图”，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理．例　一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图5，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a２＋b２＝c２．证明：∵四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC′D′＝（BC＋C′D′）·BD′＝．∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC＝∠B′AC′．∴∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°．（或：矩形ABCD绕点A逆时针旋

4、转90°，AC旋转到AC′的位置，则∠CAC′＝90°）∴S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ab＋c２＋ab＝．∴＝，∴a２＋b２＝c２．