石家庄楼宇对讲系统概述

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1、1.2.1线性空间及其基本性质1.2.2向量的线性相关性1.2.3线性空间的维数1.2线性空间线性空间是线性代数的中心内容，也是学习矩阵论的重要基础，它是几何空间的抽象和推广．在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数量乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论．现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘

2、法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义．1.2.1线性空间及其基本性质定义1.2.1设V是一个非空集合，P是一个数域。在V上定义了一种代数运算，称为加法，记为“+”；定义了P与V到V的一种代数运算，称为数量乘法（简称数乘），记为“·”。如果加法与数量乘法满足如下规则：其中k，m是P中

3、的任意数，α，β，γ是V中的任意元素，则称V为数域P上的线性空间。问题:数域P上的线性空间V关于加法和数乘两种运算是否封闭?为什么?备注1:1.线性空间的实质:是定义了加法和数乘的集合,集合在这两种运算下是封闭的.2.V中所定义的加法及数乘运算统称为V的线性运算.在不致产生混淆时，将数域P上的线性空间简称为线性空间．3.不管V的元素如何，当P为实数域R时，则称V为实线性空间;当P为复数域C时,就称V为复线性空间．备注2.向量(线性)空间中的元素称为向量,但不一定是有序数组.备注3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义

4、的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加,乘运算,则只需检验运算的封闭性.线性空间的判定方法:例1:实数域上的全体mn矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间,记作Rmn.Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.例3:次数等于n的多项式再添上零多项式的全体对于通常的多项式加法,数乘多项式的乘法是否构成线性空间？例4:在区间[a,b]上全体实连续函数构成的集合记为C[a,b],对函数的加法和数与函数的数量乘

5、法,构成实数域上的线性空间.(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加,乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.例5:正实数的全体记作R+,在其中定义加法及乘数运算为:ab=ab,a=a,(R,a,bR+)验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线性空间.证明:对任意a,bR+,R,ab=abR+,a=aR+,所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.下面验证八条线性运算规律:对任意a,b,cR+,k,lR,(1)ab=ab=ba=ba;(2)(ab)

6、c=(ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc)=a(bc);(3)存在零元1R+,对任意aR+,有a1=a1=a;(4)对任一元素aR+,存在负元素a-1R+,有aa–1=aa–1=1;(5)1a=a1=a;(6)k(la)=kal=(al)k=akl=(kl)a;(7)k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk(8)(k+l)a=ak+l=akal=akbk=kakb;所以,R+对所定义的运算构成线性空间.=akal=kala.直接由定义1.2.1，可以证

7、明线性空间的一些基本性质。从上述线性空间例子中可以看到，许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究．另外应理解加法和数乘分别是V中的一个二元运算和数域P与V中元素间的运算，要求运算满足定义1.2.1中的八条性质，它们已不再局限在数的加法、乘法的概念中．备注3:定理1.2.1设V是数域P上的线性空间，则(1)V中零元素是唯一的；(2)V中任一元素α的负元素是唯一的；利用负元素，定义线性空间中的减法：证明:假设01,02是线性空间V中的两个零元素.(1).零元素是唯一的.则对任何V有,+01=,+02=

8、,由于01,02V,则有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.2.负元素是唯一的.证明:见课本证明:因为+0=1+03.0=0;(–1)=–;0=0.则由零元素的唯一性得:0=0=.=1=(1+0)因为+(–1)=1+(–1)=[1+(–1)]=0=0.则