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时间:2019-06-14
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1、《高等数学》期中测验卷(适用班级060715、060716)(适用时间1小时)班级---------------学号--------------姓名--------------成绩-------------一、填空(每题3分,共6分)1.函数的单调下降区间为2.2.函数的阶麦克劳林展开式为二、求下列极限(每题8分,共32分)3.解原式--------------------4.解:原式5.4解:原式=.6.解原式三、求下列导数和微分(每题8分,共32分)7.设,求。解:=8.设,求。解:两边取对数得,两边求导,故有.9.函数由确定,
2、求4解:方程两边分别对x求导,得到:,从而..10.设求、解=.四、讨论题(12分)11.设,讨论在上的连续性。若在某点处不连续,说明是哪类间断点,若可去,则补充(改变)定义,使其在该点连续。解:在和上是初等函数,因此和上连续。在点处,由于但故是第一类间断点中的可去间断点。改变定义则在(0,2)上连续。五、证明题12.用“”语言证明(6分)证:任取要使只要4取则当时,恒有即13.设证明方程只有2个实根。(12分)证明:不妨设由于是一个三次函数,故在上连续,在内可导,且易知由Rolle中值定理得:使------------------
3、----------------------------------------------------------当时,类似可得使-另一方面,由于是一个二次函数,故至多有两个实根。于是方程只有2个实根。---------------------------------------------------附加题:设在上可导,且,对于任何,都有,试证:在内,有且仅有一个数,使.证:令,因为在上连续,且,,则由零点存在定理在内至少存在一点,使,即.下证唯一性。设在内存在两个点与,且,使,.由于在上可导,故在上连续,在上可导,运用罗尔中值
4、定理,则存在,使得.这与题设矛盾。故在内,有且仅有一个使。4
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