回溯法_-_山东师范大学

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1、算法设计与分析山东师范大学信息科学与工程学院软件工程研究所徐连诚E-Mail：lchxu@163.com2006年11月20日第五章回溯法学习要点理解回溯法的深度优先搜索策略掌握用回溯法解题的算法框架1）递归回溯最优子结构性质2）迭代回溯贪心选择性质3）子集树算法框架4）排列树算法框架通过应用范例学习回溯法的设计策略1）装载问题；2）批处理作业调度；3）符号三角形问题4）n后问题；5）0-1背包问题；6）最大团问题；7）图的m着色问题8）旅行售货员问题9）圆排列问题10）电路板排列问题11）连续邮资

2、问题2引言有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。35.1回溯法的算法框架本节介绍回

3、溯法算法框架的有关问题：一、问题的解空间二、回溯法的基本思想三、递归回溯四、迭代回溯五、子集树与排列树4一、问题的解空间应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有

4、些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间5二、回溯法的基本思想回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。关于复杂性：用回溯法解题的一个显著特征

5、是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。6生成问题状态的基本方法扩展结点：一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点：一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点死结点：一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子

6、C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。7示例10-1背包问题n=3,C=30,w={16,15,15},v={45,25,25}

7、开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点扩展A，先到达B结点Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点扩展B，先到达DCr

8、成为死结点，返回到AA再次成为扩展结点，扩展A到达CCr=30，V=0，活结点为A、C，C为当前扩展结点扩展C，先到达FCr=Cr-w2=15，V=V+v2=25，此时活结点为A、C、F，F成为当前扩展结点扩展F，先到达LCr=Cr-w3=0，V=V+v3=50L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50L不可扩展，成为死结点，返回到F再扩展F到达MM是叶结点，且25<50，不是最优解M不可扩展，成为死结点，返回到FF没有可扩展结点，成为死结