线性代数--中国科技大学--电子教案

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1、线性代数教学改革李尚志教授中国科学技术大学数学系空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)研究工具----代数：矩阵运算向量(问题)--modeling矩阵语言描述矩阵运算解决向量(解答)与微积分的关系:非线性--微积分线性--线性代数抽象=?抽象=难得糊涂:忽略差别,提取共同点从问题出发以解决问题为线索展开教学内容例:怎样建立向量的坐标有方向和大小的量坐标化n数组向量与坐标运算的对应:依赖于加法与数乘的运算律(8条公理)不直接依赖于平行四边形法则基：坐标的唯一性—线性无关,存在性—

2、极大无关组向量---坐标:同构坐标变换---数组空间中的坐标变换例:解线性方程组方程(向量)-----系数组(坐标)互为线性组合(初等变换)同解变形(高斯消去法)只用到四则运算--数域的概念关于方程个数的讨论:方程个数有真假—线性无关与线性相关几个方程?4个?为何只剩2个?有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关打假到底极大无关组货真价实(秩)2个秩(方程的真正个数)的唯一性证明只依赖于运算律将方程换成任意向量行列式的性质det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(

3、u,v+au)几何变换(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)曲线C:x=x(t),y=y(t)曲线C’:x=f1(x(t),y(t)),y=f2(x(t),y(t))线性变换x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.由矩阵决定画图观察:直线,平行,垂直,长度,角度,圆?旋转:2021/7/202021/7/20向量方向的变化特征向量2021/7/20选取特征向量为基---矩阵的对角化2021/7/20射影变换x’=x/(x-1),y’=y/(x-1).直线、相交、平行？相交于

4、x=1的直线？圆(与x=1相离、切、交)?相交直线变成平行直线圆变成圆锥曲线谢谢！