高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步

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1、微积分初步一、微积分的基本概念1、极限极限指无限趋近于一个固定的数值两个常见的极限公式*2、导数当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。导数含义，简单来说就是y随x变化的变化率。导数的几何意义是该点切线的斜率。3、原函数和导函数对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。4、微分和积分由原函数求导函数：微分由导函数求原函数：积分微分和积分互为逆运算。例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数（1）（2）（3）二、微分1、基本的求导公式（1）（2）（3）*（4）（5）*（6）（7）（8

2、）（9）（10）**（11）**（12）**（13）**（14）2、函数四则运算的求导法则设u=u(x)，v=v(x)（1）（2）（3）例2、求y=tanx的导数3、复合函数求导对于函数y=f(x)，可以用复合函数的观点看成y=f[g(x)]，即y=f(u)，u=g(x)即：例3、求的导数例4、求的导数三、积分1、基本的不定积分公式下列各式中C为积分常数（1）（2）（3）*（4）（5）（6）（7）*（8）**（9）**（10）2、简单的定积分求法（即牛顿—莱布尼茨公式）物理竞赛中最基本的微积分公式牛顿—莱布尼茨公式：若f(x)是F(x)在区

3、间[a,b]上的导函数,则而根据导函数f(x)求原函数F(x)的过程，其实就是不定积分的过程。3、换元积分法(1)第一类换元积分（凑微法）例5、求**(2)第二类换元积分法技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。**例6、物理例题：例7、已知地球的半径为R，质量为M。将质量为m的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功？例8、求半径为R，质量均匀的半圆形薄板的重心位置例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m，杆长均为L，半径均为r(1)均匀杆绕中点转动(2)均匀杆绕一端转动(3)均匀圆盘绕中心转动*(4)均匀球绕中

4、轴转动5.2附微积分阅读材料**一、求极限的罗必塔法则此时可以对分子分母同时求导后再求极限，从而避免出现未定式无法计算的情况。如果求导后仍然是未定式，可多次利用罗必塔法则。如果始终是未定式，则此方法失效。例1：例2：***二、分部积分法理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到。根据函数相乘的求导公式：移项可得：两边取积分：***例3、求***例4、求利用分部积分法的步骤：(1)将被积函数分为两部分，一部分可以看做是原函数，即u，另一部分可以看做是导函数，即v’。(2)右边第一项为两个原函数uv的乘积，第二项将原函数u变为导函数u’，导函数v

5、’变为原函数v，相乘后再求积分。利用分部积分法的技巧：上述过程的难点在于对v’求积分，以及对u’v求积分。因此，要将被积函数拆成适当的两部分，使得这两个积分求解起来都比较容易。三、简单的常微分方程（分离变量法）***例5：放射性元素衰变问题设铀的衰变速度与未衰变的原子数目M成正比已知t=0时未衰变的铀的含量为M0，求M随时间变化的函数。解：变量为M和t，分离变量得：两边分别求不定积分：根据初始状态求出积分常数C：带入后消去C可得：***例6：电容器充放电问题电容为C的电容经过充电后，两端电压为U0。从t=0时刻开始串联上电阻R进行放电。求电

6、压U随时间t的变化函数。解：联立上面两式可得：分离变量可得：两边分别求不定积分：根据初始状态求出积分常数C0：带入后消去C0可得：可以看到，RC的值与电容器放电的快慢有关，因此RC也叫做RC电路的时间常数。类似的，RL电路中，时间常数为L/R。此外，求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程，不过采用的方法是试探解法。***四、泰勒展开将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量……常用于近似处理和对小量的讨论。理解公式前两项的几何意义。公式最后一项表示剩下所有的项，相对于都是小量。常见函数在x0=0处的泰勒展开：不

7、是所有的函数不是在所有的位置都可以进行泰勒展开。只有当高阶项越来越小且趋近于0时（此说法不严格）才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值。