金融数学1期望效用理论

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1、金融数学引论第1章期望效用函数理论1第1章期望效用函数理论本章内容概览1.效用函数理论2.投资者的风险偏好和风险度量3.随机占优2引言n理性个人的决策行为几乎是所有微观经济分析的起点。经济学的传统是把个人、家庭的存在，以及他们所具有的偏好形式和资源禀赋，视为独立于经济体系的外生因素；而经济组织的行为和作用则在经济体系中内生决定，因而一开始往往会去考察个人的选择行为进而演绎出经济组织的功能和市场的均衡，微观金融学也不例外。n要解构整个金融体系，要理解金融产品、资本市场、金融中介在跨期资源配置中的所具有的功能作用及其实现形式，投资者行为就是一个自然的起点。3个人生存过程中，

2、必须反复面对以下3个选择问题：（1）选择消费品种类和数量，在现有消费基金预算约束下，当期效用（utility）最大化；（2）选择积累的财富在消费基金和投资基金之间进行分割的比例；（3）选择投资品种类和数量，在现有投资基金预算约束下，未来（期望）效用最大化。不断进行选择的总过程的目的就在于：个人终生效用极大化。q考虑第一个选择问题时，我们称个人为消费者（consumer）；考虑第三个问题时为投资者（investor），一起考虑时为面临抉择的个人（individual）或者决策者（decisionmaker）。4n我们对投资者行为的研究就从第三个选择问题开始，金融学的重点就

3、是考察在理性个人特定要求和现有投资基金预算约束下，如何通过选择投资品种类和数量（资产组合），来最大限度的优化个人未来的消费或者财富。同时我们也研究这种个体的投资行为的汇总是否会产生市场均衡和相应的均衡价格体系。5第1节确定性条件下的偏好与效用n日常生活中，我们时常要比较不同商品或者服务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用（utility）。n例如，看一场电影还是吃一块鸡腿，是需要经过激烈思想斗争的，尤其是当荷包里所剩无几的时候。n这便涉及到效用大小比较的问题。6在18世纪的古典经济学家眼中，效用和黄油、大炮一样是看得见、摸得着的，他们把效用视为快乐的代名词，看做是一个

4、人的整个福利的指数。但是，古典经济学家实际上从来没有阐述过如何去度量效用；以及除了人们要实现效用最大化外，效用的概念是否还有别的独立意义。正如我们即将看到的那样，现代效用理论来源于偏好，并仅仅认为是描述偏好的方法之一。71.1偏好关系效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。偏好关系（preferencerelation)是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二元）关系（binaryrelation）表述出来。8偏好杂谈（1）n偏好是指消费者按照自己的意愿对可供选择的商品组合进行的排列。n偏好是微观

5、经济学价值理论中的一个基础概念。偏好是主观的，也是相对的概念。偏好实际是潜藏在人们内心的一种情感和倾向，它是非直观的，引起偏好的感性因素多于理性因素。偏好有明显的个体差异，也呈现出群体特征。9偏好杂谈（2）终日奔波只为饥，方才一饱便思衣。衣食两般皆俱足，又想娇容美貌妻。取得美妻生下子，恨无天地少根基。买到田园多广阔，出入无船少马骑。槽头扣了骡和马，叹无官职被人欺。县丞主簿还嫌小，又要朝中挂紫衣。作了皇帝求仙术，更想登天跨鹤飞。若要世人心里足，除是南柯一梦西。101.偏好关系的表述令Ｂ为商品（或者消费）集合，B中有n种可供选n择的商品。它是n维实数空间R中的一个非负子集，

6、它总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者称之为商品束（commoditybundle）或者消费束（consumeboundle）。我们可以在消费束的集合Ｂ上建立下面的偏好关系（preferencerelation）或者偏好顺序（preferenceordering）：11n设B是n维欧氏空间R中的凸集，在B中引入一个二元关系记为“”，称之为偏好关系，如果它具有（1）（自返性）若xB,则xx；（2）（可比较性）若x,yB,则xy或者yx;（3）（传递性）若x,y,zB,如果xy,yz,则xz。12注：若x,yB,xy,则认为x比y好

7、，或者x不比y差。若xy与yx同时成立，则x和y偏好无差异，记作x~y。若xy但yx不成立，则x严格地比y好，记作xy。自返性保证了消费者对同一商品的偏好具有明显的一贯性；可比较性假定保证了消费者具备选别判断的能力；传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一贯性。13n通常认为这三条并没有给消费者施加过分严格的限制条件，只要是消费者是理性的都可以做到这一点。n但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样的效用函数是不一定存在的，例如字典序偏好就是一个反例。14字典序定义例如：设选择集B2（x,y)x[0,),y[0,)