2016硕士研究生入学考试数三真题及答案

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1、2013硕士研究生入学考试数学三真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A）（B）（C）（D）答案：（D）解析：（A）（B）（C）（D）　如：（2）函数的可去间断点的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3答案：（B）解析：f(x)=f(x)=而f(0),f(1)无定义，故x=0,x=1为可去间断点.（3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（）（A）（B）（C）（D）答案：（B）解析：故应选B。（

2、4）设为正项数列，下列选项正确的是（）（A）若收敛（B）收敛，则（C）收敛，则存在常数,使存在（D）若存在常数，使存在，则收敛答案：（D）解析：因为收敛，存在，则收敛。故应选D。（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价答案：（B）解析：∵B可逆.∴A(b1…bn)=C=(c1…cn)∴Abi=Ci.即C的列向量组可由A的列向量组表示.∵AB=C　∴A=CB-1=CP.同理：A的列向量组可由C的列

3、向量组表示.（6）矩阵与相似的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）答案：（B）解析：A和B相似，则A和B的特征值相同.∴A和B的特征值为λ1=0.λ2=b.λ3=2.∴

4、A-2E

5、=∴a=0且当a=0时，反之对于.（7）设是随机变量，且,则（）（A）（B）（C）（D）答案：（A）解析：（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，则()（A）（B）（C）（D）答案：（C）解析：二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线和在点处有公共的切线，则________。答案：-2解析：（10）设函数由方程确定，则_

6、_______。答案：2-2ln2解析：（11）求________。答案：ln2解析:＝0+=0-ln（12）微分方程通解为________。答案：解析：（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若。答案：解析：取行列式得：若(矛盾)（13）设随机变量X服从标准正态分布,则=________。答案：2e2解析：三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。解析：（16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是

7、绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。解析：由题意可得：因为：所以（17）（本题满分10分）设平面内区域由直线及围成.计算。解析：与的交点为，与的交点为。（18）（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。解析：（1）总收入总成本总利润边际利润（2）当P=50时的边际利润为，其经济意义为在P=50时，价格每提高1元，总利润减少2000元。（3）由于，在递增

8、，在递减，当P=40时，总利润最大。（19）（本题满分10分）设函数在上可导，，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在使得证明：（1）因为，对于，存在,使得当时，，因此，由连续函数的介值性，存在，使得。（2）由拉格朗日中值定理，存在使得（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。解析：令，则，则由得，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。又,所以所以（其中为任意常数）。（21）（本题满分11分）设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明

9、二次型在正交变化下的标准形为二次型。证明：（22）（本题满分11分）设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度（1）求的概率密度；（2）的边缘概率密度；（3）求。解析：(I)。（II）当时，所以的边缘概率密度为（III）（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.解析：（1），令,得到矩估计。（2）得到最大似然估计：。