数据结构第六章树和二叉树

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1、第六章树和二叉树6.1树的类型定义6.2二叉树的类型定义6.3二叉树的存储结构6.4二叉树的遍历6.5线索二叉树6.6树和森林的表示方法6.7树和森林的遍历6.8哈夫曼树与哈夫曼编码6.1树的类型定义数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。若D为空集，则称为空树；否则:(1)在D中存在唯一的称为根的数据元素root,(2)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm,其中每一棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。数据关系R：ABCDEFGHIJMKL

2、例如:基本术语结点:结点的度:树的度:叶子结点:分支结点:数据元素+若干指向子树的分支分支的个数树中所有结点的度的最大值度为零的结点度大于零的结点DHIJM(从根到结点的)路径：孩子结点、双亲结点、兄弟结点、堂兄弟祖先结点、子孙结点结点的层次:树的深度：由从根到该结点所经分支和结点构成ABCDEFGHIJMKL假设根结点的层次为1,第l层的结点的子树根结点的层次为l+1树中叶子结点所在的最大层次任何一棵非空树是一个二元组Tree=（root，F）其中：root被称为根结点，F被称为子树森林森林：是m（m≥

3、0）棵互不相交的树的集合ArootBEFKLCGDHIJMF(１)有确定的根；(２)树根和子树根之间为有向关系。有向树：有序树：子树之间存在确定的次序关系。无序树：子树之间不存在确定的次序关系。对比树型结构和线性结构的结构特点~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~线性结构树型结构第一个数据元素(无前驱)根结点(无前驱)最后一个数据元素(无后继)多个叶子结点(无后继)其它数据元素(一个前驱、一个后继)其它数据元素(一个前驱、多个后继)6.2二叉树的类型定义二叉树或为空树；或是由一个根结

4、点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。ABCDEFGHK根结点左子树右子树EF二叉树的五种基本形态：N空树只含根结点NNNLRR右子树为空树L左子树为空树左右子树均不为空树二叉树的重要特性性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点。(i≥1)用归纳法证明：归纳基：归纳假设：归纳证明：i=1层时，只有一个根结点，2i-1=20=1；假设对所有的j，1≤ji，命题成立;二叉树上每个结点至多有两棵子树，则第i层的结点数=2i-22=2i-1。性质2：深度为k的二叉树上至多含2k-1个

5、结点（k≥1）证明：基于上一条性质，深度为k的二叉树上的结点数至多为20+21++2k-1=2k-1性质3：对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2个度为2的结点，则必存在关系式：n0=n2+1证明：设二叉树上结点总数n=n0+n1+n2又二叉树上分支总数b=n1+2n2而b=n-1=n0+n1+n2-1由此，n0=n2+1两类特殊的二叉树：满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。完全二叉树：树中所含的n个结点和满二叉树中编号为1至n的结点一一对应。123456789101

6、112131415abcdefghij性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n+1证明：设完全二叉树的深度为k则根据第二条性质得2k-1≤n<2k即k-1≤log2nn，则该结点无左孩子，否则，编号为2i的结点为其左孩子结点；(3

7、)若2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。6.3二叉树的存储结构二、二叉树的链式存储表示一、二叉树的顺序存储表示#defineMAX_TREE_SIZE100//二叉树的最大结点数typedefTElemTypeSqBiTree[MAX_TREE_SIZE];//0号单元存储根结点SqBiTreebt;一、二叉树的顺序存储表示例如:ABDCEF012345678910111213ABCDEF1401326二、二叉树的链式存储表示1.二叉链表2．三叉链表3．双亲链表

8、4．线索链表ADEBCFrootlchilddatarchild结点结构:1.二叉链表typedefstructBiTNode{//结点结构TElemTypedata;structBiTNode*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BiTNode,*BiTree;lchilddatarchild结点结构:C语言的类型描述如下:rootADEBCF2．三叉链表parentlchildda