工程数学_积分变换(第四版)第2讲

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1、1.2Fourier变换一.Fourier变换的概念二.单位脉冲函数及其Fourier变换三.非周期函数的频谱我们知道,若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有可以看出f(t)与F(w)可相互转换,分别记为F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]1.Fourier变换的概念(1.9)式叫做f(t)的Fourier变换式,(1.10)式为F(w)的Fourier逆变换式,设（1.9）（1.10）可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对.它们有相同的奇偶性.还可以将f(t)放在左端,F(w

2、)放在右端,中间用双向箭头连接:f(t)F(w)F(w)称作f(t)的象函数,(1.9)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换,f(t)称作F(w)的象原函数.同样,(1.10)式右端的积分运算,叫做F(w)的Fourier逆变换.由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,f(t)的Fourier正弦变换F(w)的Fourier正弦逆变换由f(t)的Fourier余弦积分公式可得,f(t)的Fourier余弦变换F(w)的Fourier余弦逆变换tf(t)1根据(1.9)式,有这就是指数衰减函数的Fourier变换.根据(1.10)式,有现在,

3、我们来求指数衰减函数的积分表达式.术中常见的函数因此有如果令b=1/2,就有可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.10)式注意:在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同的.在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.有许多物理现象具有脉冲性质,如：2.单位脉冲函数及其Fourier变换在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).由于

4、电流强度是电荷函数对时间的变化率,即当t0时,若以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t=0时,q(t)在这一点不连续,0是q(t)的第一类间断点.从而在普通导数意义下,q(t)在这一点不存在导数.i(t)=0.如果我们形式地计算这个导数,则得问题:在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数,简单记成弱收敛:若对任何一个无穷次可微的函数f(t),如果函数序列{Sn}满足出发点:想办法把无法表示的函数用某个可以表出的函数列求弱极限来得到.称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t)de(t)1/eeO即

5、:d-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限.d-函数的性质:证明:因为对任何一个无穷次可微的函数f(t),性质1.工程上将d-函数称为单位脉冲函数,tOd(t)1可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.d(t)性质2.证明:d-函数的筛选性质推论.证明:d-函数的其他性质（习题13）单位阶跃函数；d-函数的Fourier变换d-函数的Fourier变换为:根据d-函数的筛选性质可得,可见,d-函数和1构成了一个Fourier变换对.注意:此处的Fourier变换是一种广义Fourier变换.所谓广义是

6、相对于古典意义而言的.tOd(t)1wOF(w)1可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一Fourier变换对.同理,d(t-t0)和亦构成了一个Fourier变换对.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义Fourier变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.引入单位脉冲函数的意义:pwO

7、F(w)

8、Otu(t)证:分析:当没有办法直接验证F(w)是一个函数的Fourier变换时,可以将

9、F(w)代入Fourier逆变换,看结果是否为f(t).若F(w)=2pd(w)时,由Fourier逆变换可得所以1和2pd(w)也构成了一个Fourier变换对.推论:同理,如果F(w)=2pd(w-w0)由上面两个函数的变换可得意义:d-函数的引入使得在普通意义下不存在的积分有了确定的数值.例5求正弦函数f(t)=sinw0t的Fourier变换.由Fourier变换公式可得解:如图所示:tsintpp-w0w0Ow

10、F(w)

11、3.非周期函数的频谱的振幅为而函数的复指数形式为频率为wn时的振幅,即振幅随频率变化的分布情况.频谱图:频率和振幅的关系图.特点

12、:频谱的图形是不连续的,因为n=0,1