离散数学图的概念与表

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1、第十六章图的概念与表示16.1图的基本概念16.2链(或路)与圈(或回路)16.4图的矩阵表示退出16.1图的基本概念什么是图?可用一句话概括，即：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。因为它显得太抽象，不便于理解，所以有必要给出另外的回答。下面便是把图作为代数结构的一个定义。定义16.1.1一个图G定义为一个三元组，记作G=。其中V是个非空有限集合，它的元素称为结点；E也是个有限集合，其元素称为边，而φ是从E到V中的有序对或无序对的映射

2、。由定义可知，图G中的每条边都与图中的无序或有序结点对相联系的。若边e∈E与无序结点对〔vi，vj〕相联系，则φ(e)=〔vi，vj〕，这时边e称为无向边，有时简称为边；若边e∈E与有序结点对相联系，则φ(e)=，此时边e称为有向边或弧，vi称为弧e的始结点，vj称为弧e的终结点。若结点vi与vj由一条边(或弧)e所联结，则称结点vi和vj是边(或弧)e的端结点；同时也称结点vi与vj是邻接结点，记作viadjvj；否则为非邻接结点，记作vinadjvj；也说边(或弧)e

3、关联vi与vj或说结点vi与vj关联边(或弧)e。关联同一个结点的两条边或弧称为邻接边或弧。而联结一结点与它自身的一条边，称为环。环的方向是无意义的。如果把图G中的弧或边总看作联结两个结点，则图G可简记为G=，其中V是非空结点集，E是联结结点的边集或弧集。定义16.1.2在图G=中，如果每条边都是弧，该图称为有向图；若每条边都是无向边，该图G称为无向图；如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合图。定义16.1.3在图G=中，如果任何两结点间不多于一条边(对于有

4、向图中，任何两结点间不多于一条同向弧)，并且任何结点无环，则图G称为简单图；若两结点间多于一条边(对于有向图中，两结点间多于一条同向弧)图G称为多重图，并把联结两结点之间的多条边或弧，称为平行边或弧，平行边或弧的条数称为重数。定义16.1.4给每条边或弧都赋予权的图G=，称为加权图，记为G=，其中W表示各边之权的集合。加权图在实际中有许多应用，如在输油管系统图中权表示单位时间流经管中的石油数量；在城市街道中，权表示表示通行车辆密度；在航空交通图中，权表示两城市的距离等等。定义

5、16.1.5在无向图G=中，如果V中的每个结点都与其余的所有结点邻接，即(vi)(vj)(vi，vj∈V→〔vi，vj〕∈E)则该图称为无向完全图，记作K

6、V

7、。若

8、V

9、=n，该图记作Kn。在一个图中，如果一个结点不与任何其他结点邻接，则该结点称为孤立结点。仅有孤立结点的图称为零图。显然，在零图中边集为空集。若一个图中只含一个孤立结点，该图称为平凡图。定义16.1.6在有向图G=中，对任意结点v∈V，以v为始结点的弧的条数，称为结点v的出度，记为d+(v)；以v为终结点的

10、弧的条条数，称为v的入度，记作d-(v)；结点v的出度与入度之和，称为结点的度数，记为d(v)，显然d(v)=d+(v)+d-(v)。对于无向图G=，结点v∈V的度数等于联结它的边数，也记为d(v)。若v点有环，规定该点度因环而增加2。显然，对于孤立结点的度数为零。此外，对于无向图G=，记Δ(G)或Δ=max{d(v)

11、v∈V}δ(G)或δ=min{d(v)

12、v∈V}它们分别称为图G的最大度和最小度。关于无向图中的结点的度，欧拉给出一个定理，这是图论中的第一个定理。定理16.

13、1.1给定无向图G=，则定理16.1.2在任何无向图中，奇度结点的数目为偶数。定义16.1.7在无向图G=中，如果每个结点的度是k，即(v)(v∈V→d(v)=k)，则图G称为k度正则图。显然，对于k度正则图G，Δ(G)=δ(G)=k。定义16.1.8给定无向图G1=和G2=，于是(1)如果V2V1和E2E1，则称G2为G1的子图，记为G2G1。(2)如果V2V1，E2E1且E2≠E1，则称G2为G1的真子图，记为G2G1。(3)如果V2

14、=V1，E2E1，则称G2为G1的生成子图，记为G2G1。定义16.1.9设图G2=是图G1=的子图。若对任意结点u和v，如果〔u，v〕∈E1，有〔u，v〕∈E2，则G2由V2唯一地确定，并称G2是结点集合V2的诱导子图，记作或G〔V2〕；如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，则称G2是边集E2的诱导子图，记为或G〔E2〕。定义16.1.10设图G1=和图G2=是图G=的子图。如果E