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时间：2019-06-11
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1、1.5两个重要极限定理1.5.1(夹逼定理)设函数和在点的去心邻域内有定义,满足不等式而且则存在且也等于证明对于任给的存在使当时有又存在使当时有取则当时有即于是该定理对于的情形也成立,证明类似.注(1)第一个重要极限同除以得到例求极限解令则当时且例求极限解令则当时且例解(2)我们已证明第二个重要极限此式等价于下列两个极限同时成立:例求极限解原式例解注则1.6无穷小量与无穷大量定义1.6.1:极限为零的量称为无穷小量.1.6.1无穷小量例如,注意1.无穷小量不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小量的唯一的数.由无穷小量的定义及极限性质可立即推知下列性质:(1)两个无穷小量之和、差、
2、积仍是无穷小量(当的趋向相同时);(2)无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.当时是无穷小量,是有界量,例如而也是无穷小量.故定理1.6.1的充分必要条件是为无穷小量.因此,等价于其中是无穷小量(当时).1.6.2无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限定义:等价无穷小可简化某些求极限的过程.例如可简化为也就是说,处于乘除位置的无穷小量可以用其等价无穷小量来代替.例解但注意,处在加减位置的无穷小量不能以等价无穷小量来代替,例如上述例题,如果按下述方式做:此结果是错误的.1.6.3无穷大量绝对值无限增大的量称为无穷大量.证定理1.6.2如果当时是无
3、穷大量,则是无穷小量;反之,如果是无穷小量且则是无穷大量.习题1.51(2)、(3)、(5)2(2)、(3)3(2)、(3)、(6)习题1.61(2)、(3)、(5)25(3)7、8
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