数学竞赛校本3

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1、江苏省天一中学高中数学竞赛讲义§22几何变换一、平移变换1．　定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点变到，使得，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为，图形。2．　主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、轴对称变换1．　定义设是一条给定的直线，是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点变到，使得与关于直线对称，则叫做以为对称轴的轴对称变换。记为，图形。2．　主要性质在轴对

2、称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、旋转变换1．　定义设是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点变到，使得，且，则R叫做绕中心O，旋转角为的旋转变换。记为，图形。其中时，表示的始边到终边的旋转方向为顺时针方向；时，为逆时针方向。2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、位似变换1．　定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点变到

3、，使得，则H叫做以O为位似中心，为位似比的位似变换。记为，图形。第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义其中时，在射线上，此时的位似变换叫做外位似；时,在射线的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2．　主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆

4、变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。例题讲解1．P是平行四边形内一点，且。求证：2．“风平三角形”中，，求证：3．在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义例题答案【例1】P是平行四边形内一点，且。求证：【例2】“风平三角形”中，求证：【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义【评注】当已知条件分散，

5、尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义ADRPQRPQADAPAPAPRPQRQPRQPPPPAAAPPAPPARPQRQPRPQRPQAPAPAPQPPQRPRPPPPPACSABS222'''''''''''',1802''',90'''''','',','',')()(>++>=+>++°³Ð=Ð+а³Ð++=++====¾¾®¾¾¾®¾的内部；上或在凸四边形点在线段又

6、则【分析】设Q【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。；且而显然：都是等腰三角形，、则，＝，使到，延长，使到【分析】延长MQMPMQMPBFMQECPMBFECBFECFCBECAFBAECQQFFCQBPPEEBPARAR^=^=¾¾¾®¾¾¾¾®¾DD=°°,21//,21//;,,,)90,()90,(第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义第271

7、页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义§23抽屉原理　　在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这

8、个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。第271页江苏省天一中学高中数学竞赛讲义　　“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果