函数的奇、偶性

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1、函数的单调性和奇偶性例1奇函数在时，，求在时的表达式．解：设，则，又由题意可知，∵，∴小结：在一般情况下，问啥设啥，然后再转化到已知区间上，利用函数的奇偶性，问题也就迎刃而解.例2求证：是奇函数．分析：函数解析式是分式，利用“时，若有，也是奇函数”来证明要简单.证明：∵，∴，∴，即，定义域是，∴是奇函数.例3画出函数的图像解：（1）定义域（2）值域：（3）奇偶性：∴是偶函数，当时，函数的图像如图，然后以轴为对称轴翻折，得到函数的图像.巩固练习1．设为定义在上的偶函数，且在上是增函数，试判断的大小关系．解：∵为定义在上的偶函数，∴又在上是增函数，且∴∴2．已知函数满足，求．解：由已知∴∴

2、3．设是上的奇函数，且当时，，求时，的解析式．解：令，则∴又是上的奇函数∴∴即4．若奇函数在上是增函数，且最小值为5，那么在区间上是（B）（A）增函数且最小值为（B）增函数且最大值为（C）减函数且最小值为（D）减函数且最小值为5．画出的图像．作业：1．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，求的解析式.解：设，则∴又是定义在上的偶函数∴∴2．已知为偶函数，试判断在区间的单调性.解：当即时，为非奇非偶函数，故又为偶函数∴，即∴∴在上是增函数，在上是减函数补充：1．关于奇、偶函数的重要结论：（1）函数、的定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数（奇奇=奇）是偶函数（奇奇=偶）（2）函数

3、、的定义域为、的偶函数，那么在上，是偶函数（偶偶=偶）是偶函数（偶偶=偶）（3）函数的定义域为上的奇函数，为定义域上的偶函数，那么在上，是奇函数（奇偶=奇）2．对于复合函数，（1）若是偶函数，则是偶函数；（2）若是奇函数，是奇函数，则是奇函数，若是奇函数，是偶函数，则是偶函数3．若函数的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数4．函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是（定义域关于原点对称）证明：（1）充分性若，则，，故是奇函数又是偶函数（2）必要性由是奇函数，则有（1）由是偶函数，则有（2）由（1）（2）消去，得5．学习函数的奇偶性要注意掌握以下几点：第一，函数是奇函数或偶函数的必要不充

4、分条件是它的定义域关于原点对称。否则，至少存在一个，使得或没有意义，这是因为原点的两侧的值的数目至少相差1，因此，判断一个函数的奇偶性时，如果能够肯定函数的定义域关于原点不对称，立即可以断定函数是非奇非偶函数。第二，函数的奇偶性是“全局”性质，研究函数的奇偶性要在整个函数的定义域内研究；第三，在处有意义的奇函数使得恒成立；第四，既是奇函数又是偶函数的函数的对应法则必须是。在的后面标注的取值范围，如果这个范围是关于原点对称，则这样的函数既是奇函数又是偶函数，否则是非奇非偶函数。如果后没有标注的取值范围，这时使有意义的的取值范围是，关于原点对称第五，奇函数、偶函数的本质主要表现在两个方面：

5、（1）解析式的转化具有奇偶性的函数满足，使得对在上的研究缩小至对在上的研究，另一部分的有关性质不过是在对部分研究的基础上加“”号罢了，实际上这里面隐含这研究范围缩小的内涵。（2）函数图象的转化。图象是函数的一种表现形式，由于奇函数、偶函数的图象关于原点、轴具有对称性，所以从图象的角度研究奇偶函数也包含缩小研究范围的内涵。例题1．证明（判断）函数的奇偶性问题用定义证明（判断）函数的奇偶性的一般步骤：（1）求出定义域，并判断定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，进行第二步；（2）判断与是否成立；（3）作出判断例1判断下列函数的奇偶性（1）（）；（2）；（3）；（4）（5）（6）（7

6、）（8）解：（1）函数的定义域关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数（2）函数的定义域为关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数（3）奇函数；（4）偶函数（5）函数的定义域为函数是奇函数（6）函数的定义域为函数是偶函数（7）函数的定义域为函数是奇函数（8）由，得∴函数的定义域为关于原点不对称，故为非奇非偶函数例2判断函数的奇偶性解：（1）当时，（2）当时，（3）当时，，满足综上∴函数是奇函数2．奇偶函数的解析式的转化问题数学的本质是研究“数”和“形”。奇偶函数在“数”的意义下的内涵是“与的相互转化”，这是奇偶函数的个性。例3已知是上的偶函数，且当时，。求当时，的解析式。解：令，则∴又是上的偶

7、函数∴∴说明：首先在哪个区间求解析式，就设在那个区间里。其次要通过已知区间上的解析式代入，最后通过的奇偶性把转化为或，从而解出练习：已知是奇函数，且当时，，求时，的解析式解：设，则∴又是奇函数∴∴即例4设是上的奇函数，，当时，，则（）（A）（B）（C）（D）说明：周期函数特征，可向学生渗透解：∵是上的奇函数，且∴又当时，∴例5已知函数对一切都有（1）求证：是奇函数；（2）设，用表示证明：由已知的定义域为（1）在中，令，则有，∴令，得∴∴是奇函数