数值计算方法(第6章)

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1、第6章常微分方程数值解法绪论在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。6.1初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法xEuler法y改进

2、的Euler法y精确解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.0959091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.6164751.6124520.91.7177791.6781661.6733201.01.7

3、847701.7378671.7320516.1.2误差概述误差概述误差概述误差概述6.1.3数值稳定性分析数值稳定性分析定义6.1.3若某数值算法的绝对稳定性区域包含hλ平面上的左半平面Re(hλ)＜0，则称该方法是A稳定的。隐式Euler法是A稳定的。6.2Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法6.2.2四阶Runge-Kutta方法四阶Runge-Kutta方法6.2.3R-K法的稳定性R-K法的稳定性R-K法的稳定性6.2.5隐式R-K法隐式R-K法隐式R-K法隐式R-K法隐式R-K法6

4、.3线形多步法单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1…，yn-r(r≥1)的信息去计算yn+1。考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为6.3.1基于数值积分的方法基于数值积分的方法基于数值积分的方法基于数值积分的方法基于数值积分的方法基于数值积分的方法Adams预估—校正法预估校正并取6.3.2基于Taylar展开式的方法基于Taylar展开式的方法基于Taylar展开式的方法6.4一阶常微分方程组数值解法在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。由此可知

5、，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。6.4.1解一阶常微分方程组的R-K方法一阶常微分方程组的R-K方法一阶常微分方程组的R-K方法一阶常微分方程组的R-K方法一阶常微分方程组的R-K方法一阶常微分方程组的R-K算法一阶常微分方程组的R-K方法6.4.2刚性方程组刚性方程组刚性方程组6.5常微分方程边值问题的数值解法设二阶线性常微分方程为常见边界条件有三类：6.5.1差分方程的建立差分方程的建立差分方程的建立差分方程的建立算法二阶常微分方程边值问题的差分算法例题例6.5.1用差分法求解边值问题例题xyy(x)e=y(x)-y1.00.50.501.10.

6、727985690.72637532-1.610*10-31.21.01403901.0113430-2.696*10-31.31.36782411.3644456-3.378*10-3……………………1.73.68962363.6865656-3.058*10-31.84.56353164.5612288-2.303*10-31.95.58542695.5841425-1.284*10-32.06.77258876.77258870