数学：2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件(新人教版A选修1-1)

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1、抛物线的简单几何性质一、抛物线的范围:y2=2pxy取全体实数XYX0二、抛物线的对称性y2=2px关于X轴对称没有对称中心XY定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点只有一个顶点XY三、抛物线的顶点y2=2px所有的抛物线的离心率都是1XY四、抛物线的离心率y2=2pxX+，x轴正半轴，向右X-，x轴负半轴，向左y+，y轴正半轴，向上y-，y轴负半轴，向下五、抛物线开口方向的判断y2=2pxxyo·FlAB过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径，长为2pP越大，开口越阔六、抛物线开口大小图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFy

2、xOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.典型例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论xyOFABB’A’xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点

3、,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法二:由题意可知,xyOFABB’A’例1已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？XYO·P例1已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？分

4、析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．拓展：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．证明：如图．所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜抛物线的焦点弦的特征1、已知AB是抛物线y2＝2px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、B（x2，y2）1）求证：y1y2＝－P2，x1x

5、2＝p2/4。2）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取得︱AB︱的最小值2p。3）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相切。xyOAB抛物线的几何性质特点（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线。（2）只有一条对称轴，没有对称中心。（3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。（4）离心率e是确定的，即e=1（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大课堂小结（1）抛物线的简单几何性质（2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点（3）应用性质求标准方程的方法和步骤小结：1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法2、抛物线的定义

6、、标准方程和它的焦点、准线、方程3、注重数形结合的思想。例5过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。xyOFABD例1已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？XYO·P例1已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛

7、物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．l1l2例题1.如图所示，直线与相交于M点，以A,B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，建立适当坐标系,求曲线C的方程。BAMN123分析：1.如何选择适当的坐标系。2.能否判断曲线段是何种类型曲线。3.如何用方程表示曲线的一部分。l1l2例题1.如图所示，直线与相交于M点，以A,B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，建立适当坐标系,求曲线C的方程。yxD解法一：由图得，CBAMN曲线段C的方程为：即抛物线方程：l1l2例题1.如图所示，直线与相交