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1、第21卷 第4期宇 航 学 报Vol121No142000年10月JOURNALOFASTRONAUTICSOct12000筒状大长度固体药柱在内压载荷下的响应李 卓 徐秉业(航天机电集团六院四十一所·呼和浩特市1055信箱·010010) 摘 要 本文研究不可压缩的粘弹性圆筒,在轴对称的平面应变条件下承受内压的问题,粘弹性材料采用分数阶导数模型。并用分数阶导数模型拟合固体推进剂松弛模量曲线,用Laplace变换和其反变换计算了固体火箭发动机筒段在点火内压建立过程中的位移和应力,得到它们随位置和时间变化的曲线。主题词 固体火箭发
2、动机 粘弹性 分数阶导数 不可压缩性RESPONSEOFSOLIDPROPELLANTLONGTUBEUNDERINNERPRESSUERLOADLiZhuoXuBingye(The41stInstituteofthesixthAcademyofCAMECP.O.Box1055Huhhot,010010,China)AbstractInthispaper,incompressibleviscoelastictubeunderinnerpressureloadisstudiedwithaxialsymmetricplainstrai
3、nhypothesis1Fractionalderivativeisadoptedtomodelviscoelasticma2terial1Solidpropellantrelaxationmodulecurveisfittedwithfractionalderivativemodel1Thedis2placementandstressofsolidrocketmotortubesegmentiscalculatedintheprocessofignitioninnerpressureestablishmentusingLapla
4、cetransformationandinversetransformation1Theirvariationwithpositionandtimeisobtained1KeywordsSolidrocketmotorViscoelasticityFractionalderivativeIncompressibility固体推进剂粘弹性可用多个弹簧、粘壶组成的广义Viogt模型来描述,表示为高阶微分形式。如果要在几个数量级时间区段拟合松弛模量,所选的元件就得有十个左右,给响应分析带来很大的计算量。Nutting在三十年代的早期研究
5、结果表明一般的粘弹性材料应力松弛模量与时间的分数次幂成正比。后来学者们用分数阶导数模型来模拟这种应力、应变关系,所需要的参数只有3或4个。进入八十年代分数阶导数模型得到了越来越广泛的应用,RonaldL1Bagley和PeterJ1Torvik[1][2][3][4]对分数阶导数的三维本构关系、橡胶的粘弹性模型、有限元算法和特征参数取值范围做了详细的研究,使粘弹性分数收稿日期:1999年10月22日,修回日期:2000年4月10日96宇航学报第21卷 阶导数模型能用实用于工程结构的瞬态响应和频域响应的计算分析之中。本文采用分数阶导
6、数模型计算长径比很大的钢壳体发动机,求解受阶跃型内压作用下的响应问题。1 推进剂的分数阶导数模型分数阶导数的定义为:tβ1dx(τ)D(x(t))=βdτ(0<β<1)(1)Γ(1-β)dt∫0(t-τ)式中Γ(3)为Gamma函数它的Laplace变换满足ββL(Dx(t))=sX(s)(2) 三参数粘弹性分数阶导数模型的结构见图1,E0相当于平衡模量,菱形组件代表分数阶导数弹簧2阻尼构件,此模型的应力、应变关系为βσ(t)=E0ε(t)+E1Dε(t)(3)图1Voigt分数阶导数模型经推导得松弛模量表达式E1-βG(t)=
7、E0+t(4)Γ(1-β) 对某种丁羟推进剂进行了松弛模量测试。用三参数模型拟合时选取β=012,3012E0=11235Mpa,E1=31363MPas,分数阶导数模型(VFD)、普通的Voigt模型和试验得到的推进剂松弛模量主曲线对比见图2。由图可见,VFD模型的拟合效果非常好,事-012实上,G(t)与t的线性相关系数在0199以上。普通的Voigt模型误差较大,当然,如图2 分数阶导数模型(VFD)、普通的Voigt果多取几个弹簧、阻尼构件,拟合效果会有所模型和松驰模量实测值的对比改善,但这样会形成高阶微分方程,为以后的
8、解算带来不便。2 圆筒受阶跃压力的理论解这里研究不可压缩粘弹性圆筒(外层受弹性薄壳约束),在轴对称、平面应变的条件承受内压的问题。不可压缩条件可表述为5uu+=0(5)5rr第4期李卓:筒状大长度固体药柱在内压载荷下的响应97其中u=u(r,t)是
