浅析球形带电体对匀强电场电势分布影响

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1、浅析球形带电体对匀强电场电势分布影响摘要：大学物理课程中对几种典型带电体放入匀强电场中导致匀强电场电势分布发生变化做了定性的说明，但由于求解过程复杂，大学物理课程中并没有详细求解。本文利用球坐标系下的拉普拉斯算子，通过求解勒让德函数对满足这类问题的几个具体例子进行了简单的求解。关键词：勒让德函数球坐标系拉普拉斯方程1.导体对匀强电场电势分布的影响例1：已知匀强电场为E，带电球体半径为r，求球外电势分布。00由于此问题的研究对象为球体，因而选用球坐标较为方便。以导体球球心处为原点，通过球心且平行于电场方向的对称轴为球坐标系极轴建立球坐标，并选

2、取导体球边界处2为电势零点，可得电势u满足u0，u

3、0。rr0又因为导体球关于对成轴对称，所以球外电势u的分布与角无关，故uur(,)12u1u(r)(sin)022rrrrsin利用分离变数法，令uur(,)Rr()()，可得1d2dR1dd(r)(sin)ll(1)Rdrdrsinddl1Rr()CrDl1l1∴r，ur(,)(CrlDll1)(cos)Pl（1）l0r()P(cos)l由于无限远处静电场仍保持为E，因此u

4、Erco

5、s.0r0l1将（1）式带入边界条件，当r时，ur(,)(CrlDll1)(cos)Pl=Er0cosl0r比较系数，可得l1，CE。1023当rr时，ur(,)(CrDr)(cos)P=0，得DEr。0101l1003r0综上所述，ur(,)ErcosEcos。002r3r0分析这一结果，Ercos项表示原来的匀强电场电势分布，为均匀电势；Ecos002r项表示导体球对邻近匀强电场的修正，为感应电荷形成的电势，而总的电势分布即为二者叠加。例2：已知半径为R的球壳表面电势为u()

6、，求球壳内部电势分布。0对于求解球心处的电势，可以利用电势叠加原理求得，但对于球壳内任意一点的电势，电势叠加原理显然无法完成求解。l1设电势为u，由前一例题结果可得ur(,)(CrlDll1)(cos)Pll0rl由边界条件：u

7、r0有限值，u

8、rRu0()，可得CRPll(cos)u0()l02由勒让德函数的正交性0Pl(cos)(cos)sinPkd（lk）得2l1lCrPll(cos)(cos)sinPlu0()(cos)sinPl（2）l02l1积分，得Cl

9、l0u0()(cos)sinPld2R2l1∴球壳内部电势分布为ur(,)0u0()(cos)sinPldPl(cos)l02此类问题如果直接求解勒让德多项式则十分麻烦，由于u()的值未知，因此无法0通过比较系数的方式确定l、C的值；而当利用了勒让德多项式的正交性之后，就可通l过一定的技巧将（2）式中的求和转化为积分，避免了因l而引发的求解困难，从而系数可以表示为积分的形式。2.球形电介质对匀强电场电势分布的影响对于导体球而言，处于静电场中其表面会产生感应电荷，而当导体处于静电平衡时，导体表面为等势面，

10、其电势在球面连续分布；而对于球形电介质而言，在外电场作用下球面会出现极化电荷，产生退极化场，因而电势在介质球表面不连续。相比求解导体球内、外电势分布的过程，在介质球面上拉普拉斯方程没有意义，因此在无法直接求解电势分布，只能先分别求出球内、球外的电势分布，然后通过衔接条件是两者在球面上衔接起来。例3.已知匀强电场为E，均匀介质球半径为r，介电常数为，当该均匀介质球00放入匀强电场后，求解介质球内外的电势分布。以球心为坐标原点，通过球心且平行于E的对称轴为极轴建立球坐标系，分别设0球内、外电势分布为u、u，则u、u满足拉普拉斯方程。12

11、12l由例1结果，且u1在r0为有限值，可知u1ArPll(cos)。l01l又由u2在r时为Er0cos，可得(CrlDll1)(cos)PlEr0cosl0r两边比较系数，得l0,1，CE101∴u2C0ErP0l(cos)Dll1Pl(cos)l0ruu12考虑到u

12、u

13、，可得衔接条件

14、

15、。1rr02rr00rrr00rrr01l故ArPl0l(cos)C0ErP0l(cos)Dll1Pl(cos)l0l0rDl1ll

16、Arl0Pl(cos)EP01(cos)(l1)l2Pl(cos)l0l0r0313比较系数，可解得l0,1