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1、費馬最後定理:A.Wiles的解決方法李文卿余文卿合著懸疑三百多年的費馬最後定理最近又引給定一定義在Q上的橢圓曲線起世人的注意。原因是A.Wiles宣稱他解決232E:y=x+ax+bx+c了整個問題;但不久,證明中被找出有漏洞。以E(Q)表示E上所有有理點所形成的為此,香港中文大學在1993年12月18日群。根據Mordell-Weil定理,我們知道群到21日舉行一“橢圓曲線與模型式研討會”,E(Q)的結構,是一有限群乘上階數有限的邀請看過Wiles手稿的人以及Wiles所用到自由交換群(fre
2、eabeliangroupoffinite定理的關係人,就Wiles工作做系統性的介rank),而這有限群是E(Q)的torsion部紹。明顯的結論是:Wiles的證明是建立在份(即秩是有限的元素所形成的子群)。研究一不等式上,這不等式是兩有限群之秩之間橢圓曲線的人曾提出一個問題:當E變動的的關係式,不等式一邊之有限群的秩有辦法時候,E(Q)的torsion部份的秩是否會有計算,但另一邊Selmer群的秩則難以估計。上界,且這上界只跟其定義域Q有關?Ogg故實質上,Wiles並未完全解決費馬最後定曾
3、猜測E(Q)的torsion部份所形成的子理。底下是李文卿教授在去年七月裡根據e-群只能有15種結構,這猜測於1976年被B.Mazur所證實[參考7,8,9]。設Nmail得到的信息所整理出來的摘要性文章,是不具平方因子的正整數。若E含有一秩為部份內容經第二作者依據最新的發展修改過,N的有理點,則它會給出模型曲線(modu-並寫成中文,或能滿足讀者的好奇心。larcurve)X0(N)上一有理點。Mazur的證明中有一重要步驟是研究Hecke代數T,1.費馬最後定理與橢圓曲線它是模型曲線X0(N
4、)之Jacobian上的自的關連性同態環,並且考慮T的p−進位完備畢包12數學傳播十八卷二期民83年6月(p−adiccompletions)。在另一方面,有一(iii)ℓ≥11時,ρEA,B,ℓ的值域是些人在研究使秩較大之元素不存在的局部條群GL2(Z/ℓZ)的全部(這是根據件時發現:E(Q)上若有秩是2p的點且pMazur的一個定理[9])。相當大,則可以找到三個這樣的點,其三個x由上面性質可推出坐標正好是費馬方程式xp+yp=zp的一(iv)當l≥5時,群表現ρEA,B,ℓ是不組非顯然的解。
5、因此,Mazur的結果多少肯可約(irreducible),且是非常溫和分歧定了費馬最後定理的真實性。(mildlyramified)。因此它引出一平的反過來,G.Frey提出下列有原創性的(flat)的groupscheme。概念:他從費馬方程式的非顯然解去建構一橢圓曲線,其步驟如下。設p是一比3大的質數且假設(a,b,c)是方程式xp+yp+2.Shimura-Taniyama-zp=0的一組原始整數解(無公因數)。定Weil猜測與Serre猜測A=ap,B=bp且C=cp,考慮橢圓線設E是定義在
6、Q上的橢圓曲線,其2conductor是NE,Shimura-Taniyama-EA,B:y=x(x−A)(x−B)Weil猜測是說:存在有一從模型曲線這曲線也被稱為Frey曲線。Frey[3,4](也X0(NE)到E的映型(morphism)ϕ,它把參考[11])證明EA,B具有很多好的性質,包i∞映到E的原點,且它把E上的標準全純括底下這些:微分形式(Standardholomorphicdiffer-entialform)拉回到X0(NE)上的微分形(i)EA,B的conductorNE是AB
7、C之質式,後者能以f(z)dz的非零有理數倍表之。因數的乘積。在此f是同餘子群(congruencegroup)(ii)E是半穩定(semi-stable);亦即EA,BΓ0(NE)的一個權(weight)為2的正規若對某一質數q有壞的reduction(即化尖點新型式(normalizedcuspidalnew-EA,Bmodq後不再是一橢圓曲線),則form)。說得更精確一點,若附著在E上的必是乘性(multiplicative)reductionL-函數是(換句話說,EA,Bmodq後的曲線
8、上無L(s,E)尖點存在)。Y−s−1Y−s1−2s−1=(1−app)(1−app+p)p
9、NEp6
10、NE對每一正整數m,以E[m]表示E上X∞−s的m−等分點。那麼E[m]同構於Z/mZ×=ann,n=1Z/mZ,且Galois群GQ=Gal(Q/Q¯)作用在這群上,以ρ表示當m為一質數P∞2πinzEA,B,ℓ則f(z)=n=1ane。此處,當p6
11、NEℓ時所生成的GQ的群表現。時,E(modp)上的Z/pZ一點的個數是費馬最後定理:A.Wiles的解決方法31+p−ap;當
