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1、第16卷第3期辽阳石油化工高等专科学校学报Vol.16No.32000年9月JournalofLiaoyangPetrochemicalCollegeSeptember2000弹簧自重的伸长量何宝忠(辽阳石油化工高等专科学校基础部,辽阳111003)摘要用极限的方法,导出了弹簧在重力场中处于平衡状态下的伸长量计算式,并对其进行了实例验证.结果表明计算式与实际相符.关键词弹簧自重;伸长量;半质量分点中图分类号O327mg1计算式推导Δl″=2(5)nkmgΔl′=5Δl″=5(6)设一弹簧质量为m,倔强系数为k,原长为n2kl0,若将其一端
2、悬挂,另一端自由,弹簧的下端面如果将下面各个弹簧段一个个地衔接起来,向下移动,并处全开状态,平衡时,弹簧处于张开如图1所示,图中各段弹簧均处在平衡状态,研状态,长度为l1,因重力引起的伸长量为l1—l0;究各段弹簧伸长时,均以各段的上端面为参照假想把弹簧的质量全部抽出,而集中到弹簧的下面.端面上,这时弹簧的长度为l2,对应的伸长量为第1段弹簧受力如图1(a)所示,有mgmgl2-l0=(1)T1=ΔP=kn设5为弹簧伸长量l1-l0与弹簧伸长量l2-T1为第2段弹簧对第1段弹簧向上的拉力,l0的比值,即ΔP为一个弹簧段所受的重力,第1段弹
3、簧所受重l1-l0力ΔP,对应的伸长量为Δl′,第1段弹簧下端面5=(2)l2-l0上,没有其他弹簧段,第1段弹簧总伸长量为由(1),(2)式可得,弹簧因重力引起的伸长Δl′=5Δl″量为第2段弹簧受力如图1(b)所示,第2段弹簧mgl1-l0=5(3)下端面上有一个弹簧段,对应的伸长量为(2-k1)Δl″;第2段弹簧受重力ΔP,对应的伸长量为假想将未伸长的弹簧分割成相等的n段,再Δl′,第2段弹簧总伸长量为将各段弹簧分别悬挂起来,每段弹簧受重力产生Δl′+(2-1)Δl″的伸长量均为Δl′;如果将每段弹簧的质量均抽第3段弹簧受力如图1(
4、c)所示,第3段弹簧出,分别集中到相应弹簧段的下端面上,各段的下端面上挂两个弹簧段,对应的伸长量为(3-伸长量均为Δl″,与(2)式同理,有Δl′1)Δl″;第3段弹簧受重力ΔP,对应的伸长量为5=(4)Δl″Δl′,第3段弹簧总伸长量为各段弹簧的倔强系数ki=nk,i=1,2,Δl′+(3-1)Δl″3⋯⋯同理,第i段弹簧受力如图1(d)所示,第i收稿日期:2000-05-22·68·辽阳石油化工高等专科学校学报第16卷第3期段弹簧总伸长量为mg251l1-l0=lim[-+1]Δl′+(i-1)Δl″2kn→∞nn1mgn段弹簧总伸长
5、量,即弹簧的伸长量为=2kn1mgl1-l0=∑[Δl′+(i-1)Δl″]∴l-l0=(8)i=12kn(8)式说明,弹簧受重力产生的伸长量,等于=∑[5Δl″+(i-1)Δl″]将弹簧的质量全部抽出,集中到弹簧下端面上,所i=1nmgmg1=2∑[5+i-1]对应的伸长量k乘以2.nki=1将(8)式中l1的脚码去掉,用l代表弹簧在mg251=[-+1]2knn重力场中平衡时的长度,有∴mg2511mgl1-l0=2[-+1](7)l-l0=(9)knn2k对(7)式取极限,有2实验验证半质量分点的长度为l2,对应的倔强系数为k2,从
6、半质量分点到下端面的长度为l1,对应的倔强系数为k1,倔强系数之间的关系为为验证(9)式,引进半质量分点0,将弹簧沿k1=k2=2k(10)轴线方向分成质量相等的两段,分点为0,称该点由(9)式可得,第1段弹簧的伸长量为为半质量分点,如图2(a)所示.m[]g12Δl1=2k21mg=8k1=[l-l0](11)4第2段弹簧的伸长量3Δl2=[l-l0](12)4∴第2段弹簧与第1段弹簧伸长量之比Δl2=3(13)Δl1下面是对一弹簧在重力场中做的伸长量实从悬挂点到下端面的长度为l,从悬挂点到验,其数据见下表.2000年(总第54期)何宝
7、忠:弹簧自重的伸长量·69·表1弹簧自重伸长的数据表(mm)正向反向序号全长l正第2段l正2第1段l正1全长l反第2段l反2第1段l反1110416523891053660393210426533891054661393310426533891055661394410436533901056662394平均1042652.75389.251054.5661393.5l0=517比值设:弹簧的一端悬挂时为正向,另一端悬挂Δ1l1=[l正1+l反1-l0]2时为负向,如图2(b)所示.1l0———弹簧原长=2[389.25+393.5-517
8、]l正———正向悬挂时,弹簧的长度=132.88mml反———反向悬挂时,弹簧的长度Δl12=[l正2+l反2-l0]2l正1———正向悬挂时第1段(下段)的长度1=[652.75+661-5
