中考数学压轴题0001

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1、中考数学压轴题（编号0001-2017徐汇第25题）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．图（1）（备用图）题⑴当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；【解】作图：将BM放大到10，添加辅助线DH

2、⊥BM交BM于H，参见图（2）。∵AD∥BC，∠A=90°又∵DH⊥BM∠BHD=90°∴AB//DH，图（2）四边形ABHD为矩形∴DH=AB=4，BH=AD=2HC=BC-BH=5-2=3在Rt△CDH中，根据勾股定理：DC2=HC2+DH2=32+42=9+16=25，DC=5在△BCD中，∵BM=10=2DC，又∵C是BM的中点∴根据直角三角形的判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。得△BDM是Rt△CDH.∴BD⊥DM要证明判定定理的话：∴∠BDC=∠CDB（图(3)中所示两个α角相等）在△CDM中，CM=BM–B

3、C=10–5=5=CD∴∠CDM=∠MDC（图(3)中所示两个β角相等）又∵在△BDM中,内角和等于180°：∠BDC+∠CDB+∠CDM+∠MDC=180°2（∠CDB+∠MDC）=180°180o∠BDM=∠CDB+∠MDC==90°∴BD⊥DM2图（3）大力数学工作室李老师1题⑵如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；【解】∵DC=5=BC（(1)中已证明）∴∠DBC=∠BDC又∵∠MDN=∠BDC（已知）∴∠MDN=∠DBC（图(4)中两个α角）∠DMB共用，得△BD

4、M∽△DNMBMDM=DMMNBM222•MN=DM=DH+MHy(y-x)=42+(y-2)220化简：y(4-x)=16+4，y=（0≤x<4）4−x∵线段BM=y≥0又4-x≠0∴x<4又∵线段BN≥0∴x≥0∴定义域为（0≤x<4）图（4）题⑶如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．【解】1假定DM=NM，参见上图，即顺时针转动红色三角形（保持∠NDM不变），直到N与B重合，同时M与C重合，∴BN=0②假定MN=DN，即继续顺时针转动红色三角形，N落在CB的延长线上。图（5）∵∠NMD=∠NDM=∠BDC=∠CBD∴在等腰△BD

5、M中，BD=MD∴△BDC≌△MDN（asa）∴CD=ND，∠DCB=∠DNBDH是△BDM中边BM上的高∴Rt△DNH≌Rt△DCH（asa）∴NH=CH=3∴BN=NH–BH=CH–AD=3–2=1大力数学工作室李老师22假定：DM=DN，则在等腰△MDN中，两个底角相等：∠DNM=∠DMN（图中下方的两个β角）顶角∠NDM=∠MBD（题2中已证明，图中对应三角形中的α与α对应相等）∴∠NDB+∠BDM=∠NDB+∠DNM（等式右侧是三角形外角等于不相邻的内角和）∴∠BDM=∠DNM（图中对应三角形中的β与β对应相等）∴△MDN

6、∽△MBD（aaa）（请注意，这两个三角形与图4有区别的）图（6）图（7）∴MN222•MB=MD=DH+MH∵MH=NH=x+2，MN=2MH，MB=MN–BN=2(x+2)–x=x+4∴2(x+2)22•(x+4)=4+(x+2)解得：BN=x=25–4综上所述，BN的值为1或25–4.【针对（3）的另一种解法】参见图（9），作∠ADB的角平分线DE，交AB于E。设AE=z，∠DBC=α,BN=x图（8）图（9）AEBEz4−z4根据角平分定理：=，=，2(4–z)=25z，z=ADBD2255+1αAEz445−15−1得到：t

7、an=====2AD225+125+1(5−1)21αDHBN+BH在△NDH中：∠NDH=∠NDM=tan∠NDH==22NHDH5−1x+2∴=，2(5-1)=x+2，BN=x=25–424大力数学工作室李老师3