percolation简介

《percolation简介》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、渗透理论报告渗透理论是研究随机环境中聚簇现象的理论，是Broadbent和Hammersley在1957年研究液体通过多孔媒介问题时提出的。紧接着相变（1960），级数展开（Domb），重整化群等理论的出现和发展进一步帮助了人们理解渗透理论和它作为一种临界现象的本质。随后人们在随机图理论的研究中发现节点存在节点集群的临界概率，即网络具有临界概率pc,当不超过pc时,网络是由孤立的节点集群组成,但是当超过pc时,节点集群将扩展连接到整个网络。渗流理论研究能够从一端开始而终止于另一端的、可以渗透整个网络的通道出现的概率

2、。模型建立（在二维平面上的模型的建立）现实生活中有许多问题都可以用渗透理论得到合理的解释。例如，病毒传播在人群中的传播问题，设有一个病人，单位时间内他可以以概率p感染他的邻居，他的受到感染的邻居又可以以概率p继续感染邻居，以此类推。如果传染概率p很小的话也就是小于渗透出现的临界概率，那么疾病的传播将会停止，如果传染概率p大于临界概率pc，疾病将大范围的传播。有一块空地分为两部分，一部分的表面是沙子，另一部分的表面是粘土。一场大雨过后，为什么沙子的那一部分没有存水，另一部分会存水等等一系列的问题都可以用渗透理论进行解

3、释。下面我们考虑在二维平面上的情况。我们把这些沙粒比作一个一个的平面上的点，它们之间的边是可以任意添加的，添加上的边是允许水通过的。这样只要是有一个无限远的通路存在水就可以渗透到地下。假设通道的规模相对于网格的规模来说太小了的话，这样这个格子的规模就可以看做是无限的。现在的问题是：存在一个开通边组成的可以延伸到无限远的通路的概率是多少？这样地面上的水就可以渗到地下。假设参数p属于[0,1],并且每条边开通的概率是p，把开通的这条边视作一个可以水可以渗透的通道。当p=0，任何一条边都是闭合的，不存在可以延伸到无限远的

4、开通路径。p=1，每一条边都是开通的，这样就一定存在延伸到无限远的开通的路径。这两种情况都是没有研究价值的，下面讨论当0

5、概率，记作pc,当每条边开通的概率大于Pc时，渗透就会出现，当每条边开通的概率小于Pc是，渗透就不会出现。所以在临界概率的两边，系统将会出现截然不同的情况。模型计算研究渗透理论在二叉树上的表现，这个简单的模型可以帮助我们理解渗透理论的本质，同样也可以应用于很多的复杂的模型之上。如果，P是每条边开通的概率，我们将找到Q(p),这是存在一个可以包含根节点v0并且延伸到无限远处的通路的临界概率。Pn表示存在一条从根节点v0到第n层的概率，可以猜测pn是和n有关的一个函数，这样我们对n取极限就可以得到临界概率Q(p)。我们

6、发现P0=1（其实到第0层的概率），下图中是从根节点到第三层的情况。假设这条通路经过V1,从V0到第n层的概率是p*Pn-1。（pn-1表示从v1到第n层的概率）这样的话没有这么一条经过V1到第n层的通路的概率是1-pPn-1.那么这条通路不经过V0的概率是所以存在这么一个经过V0到达第n层的概率是设函数fp(x)=1-(1-px)2那么Pn=fp(Pn-1)下面是fp根据fp'(0)=2p.分两种情况的图像显示。图一当2p>1时,大于0的交点x0是：图二当2p<1时,只有一个交点x0=0。如果2p>1并且x>x0

7、,那么 x0 1/2.θ(p)的函数图像大致如下，从图中得知pc=1/2;当p>pc,θ(p)>0这是开始出现渗透现象.当小于临界概率是θ(p)=0，没有渗透现象出现。渗透理论分类边渗透和点渗透边渗透：任意一条边以概率p联通，（概率p依赖于边的性质），当这些联通的边聚簇在一起出现无限情况时，成为出现点渗透。点渗透：任意一点以概率p被占据，（概率p依赖于点的性质，例如度），当这些占据的点聚簇在一起出现无限情况时，称为出现点渗透。每一个边渗透问题都可被视为点渗透问题

8、，但是反过来不成立。渗透理论在点阵模型上的运用正方点阵每一个位置以概率p被占据，则空白的概率是1-p，HarrisandKesten的研究结果表明，正方点阵中出现渗透的临界概率pc=1/2。正方点阵的点拥有4个邻居，点渗透临界概率pc=0.539正方点阵的边拥有6个邻居，边渗透临界概率pc=0.5对于正方点阵，边渗透临界概率小于点渗透临街概率，因为一般情况下