资源描述：
《_九章算术_开立方术及其在数学史上的位置》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、·.36中等数学-~~,~~,,,月,...闷.口...一护训冲剑沁时J呛咖一一数学史ll洲神‘今.公咯盛‘冲“私礴一《九章算术》开立方术及其在数学史上的位置李兆华。《九章算术》是中国占代的第一部数学专著,次表示立方根有三位数估计得立方根第一位数,其中少广章所记载的开平方术和开立方术〔1〕奠l商,定了中国古代方程理论的基础同时在世界数学史2、以再乘所借一算为法而除之。,匕也占有重要的位置英国和日本的一些学者认为商1《九章算术)的开方术已经类似于欧洲十九世纪初。。期的方法了〔2〕国内以往对这一问题介绍较少木a3
2、实法860867N文的目的在于,介绍开立方术的内容、原理井对它在一a2数学史上的位置作一简单的评论。进一步的讨论已〔3〕。借算1有另文介绍开平方术与开立方术的原理相,,。同但前者更简单一些故从略-一一~画不、一图一《九章算术》开立方术的内容一,,以方根第一位数l两次乘借算放到借算之上《九章算术》开立方术有明确的术文本文以,“”。,,的位置上称为法又用方根第一位数乘法少广章第十九题为例具体说明术文每句话的意义。,从实内减去(我们仍采用那个时代所使用的筹算格式但为便,,,于阅读将。:已除已三之为定法复除折而下筹码
3、改为阿拉伯数码)第十九题是,一知立方体体积为1860867立方尺,求其棱长。这就需以三乘所得数置中行复借一算置,,,,要将一560567开立方。下行步之中超一下超二等1、置积为实,借一算复置议12实1860867iN借算1a“实860867N一3a2定法3实图a“,中行3把体积值放在的位置土又用一根算筹“”l(二借算1放在借算的位置如图l面右侧的图是,,。左侧算式的字母表示以示对!叭下同),,步之超二等议所得图4,“”商把法乘以3称定法(定法的作用是用以,。约实求得方根下一位数)又把方根第一位数1实,,乘以3
4、“放在借算之上定法之下的位置上称中借算⋯行”。,,,把定法退一位中行退二位借算退三位{.以定法约实求得方根第二位数2图2、,,,3以一乘中再乘下昔副以加,,把借算向左移每移动一次跳过两位共移两,定法以定涛除1983年第三期,12ab而算筹的左右移动具有方程变换的思想商一.如图1,表示方程实⋯一五瓦万⋯{x“=1860867,(,)““4不3a‘十““不b十”‘赢x”.定法{1⋯{借算表示的系数1,中行“3a如图2表示方程一⋯⋯{xl“二1860867,借算‘(100)(1){{,.⋯这相当于把.)作倍根变换,
5、二、(其中ID0x.63abx:二1估计得,如图4表示将(1)作减很变换后的方程····(10x2)3+3100(10x:)2+3]002(10x,),图5=860867(2).,其中::=x一02)1010在(中略去高次项以,以方根的2乘中行的3“以方根的2两次乘借,.、:x:二2的系数除常数项求得,,算的1都另置在相应的位置上又把这两数按位如图6表示将(1)再次作减根变换后的方程加到定法上去。以方根的2乘定法,所得结果从实。内减去···x+32Zox+3220’x3=132867(3)璧三,,除已倍下并中
6、从定法复冷折下如,前(以三乘所得数置中行复借x:二x一。.3).、3其中招在(中以的系数除常数,,,下超一算置下行步之中超一,x。=.项求得3,二等复置议)〔4〕·.因此)的解是、=一。’x,+IOx:+x3=123(、、,由(l)(2)(3)夕卜立方术原理可总结为下:23列三点,i)首先把方程进厅涪限变换估计得方很的867Na+b);实32一(第一近似值,定法432(a+b)i)每求得方根灼一次近似值之后就利用+“;中行36(a+b)(ab)展开式将原方程进行减很变换,借算1i)在减限变换后的方程中以定法约
7、实即以一次项系数除常数项,求得方很的下一次近叭值。如果用代数式表达,也就是说,设有方程3ab二.,f(x)x“一N二0求得方很的第a一次近似值,二,.依i)进行减根变换即令yx一a亦即X二a十yx二,代人f()o有图63.,y+3ayZ+3oZy二N一a3才巴下行另置的数乘2加中行另置的数结果加,_、‘一a到定法上去(用3乘方根的2放到中行借算之、⋯N“一f(a),飞石‘二。丁,,,,认“曰y之一:“一土的位置1定法退一位中行退二位借算退三J昆1吸a)位。以定法约实,求得方根第三位数3)。x=a_,,因此重复
8、第3步的步骤实就减尽表示方根已开f’(a)f(a),,,完得123“”术文最后一句析下如前意义是一,、重复运用前面的步骤继续开方无论方根是几位整三开立方术在数学史上的位置,数都可开出因此开立方术是一个有一般性的法《九章算术》开立方术经过了约一千年的发,,,则。展到找国宋代出现了增乘汗方法又经刘益等二、开立方术的原理,“”人的工作出现了秦九韶的正负开方术高,。—从以上各图中字母表示的算式可以看出嚼次方
