加权Fan Ky不等式及其加细

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1、第17卷第3期数学研究与评论Vol.17No.31997年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1997X加权FanKy不等式及其加细姜　天　权(济宁师范专科学校,山东272125)摘　要　本文简证了加权KyFan不等式,给出了两种加细形式.关键词　加权平均,KyFan不等式,严格单调.分类号　AMS(1991)26DöCCLO174.1nnn1本文中设xi∈(0,2],pi>0,i=1,2,⋯,n,2=∑,0=∏,Pn=∑pi.分别以An=i=1i=1i=1pp2iipix

2、iP′2pi(1-xi)′P,Gn=0xin,An=,Gn=0(1-xi)n表示诸xi及诸(1-xi)的加权算术平PnPn[1]均和加权几何平均.有KyFan不等式0xi0(1-xi)n≤n(1)(2xi)[2(1-xi)]定理1GnAn′≤′(2)GnAn1-x11　　证明　函数f(x)=ln,x∈(0,]是连续下凸函数,由Jensen不等式f(2pixi)≤x2Pn12pif(xi)得pn11-2pixiPn1-xiPnln()≤2piln1xi2pixiPn2pi(1-xi)P1-xip即[]n≤0()i.□2pixixi[2

3、,3,4]1上述证明较之用归纳法和反向归纳法等证法简易.当诸pi=时,(2)式即为(1)式.n与(2)中此式对应的差式是下面的不等式.定理2′′Gn-Gn≤An-An.(3)　　证明　记f(x′′l=(a1n1,⋯,xn)=Gn-Gn-An+An.设其最大值在a1,⋯,an)∈[0,]达到.2X1994年9月29日收到.—432—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.今证a1=a2=⋯=an.1n若al是[0,]的内点,有ýf(a1,⋯,an)=

4、0,计算得2′Pn′GnGnfx=+-2piixi1-xi′1′记p(x)=(1-x)Gn+xGn-2x(1-x),为x的二次式.p(0)>0,2p()=Gn+Gn-1≤An+2′1An-1=0,知P(x)在(0,)内恰有一个实根,故得a1=a2=⋯=an,于是有21nf(x1,⋯,xn)≤f(a1,⋯,an)=0,P(x1,⋯,xn)∈[0,].21n若al是[0,]的边界点,分两种情况:211(1)al的各分量均不为0,设有l(≥1)个为,不妨设ak+1=⋯=an=,1≤n-k=l≤n22-1.P-PPPnkkk111PP′P记

5、h(x1,⋯,xk)=f(x1,⋯,xk,,⋯,)=()n[Gkn-(Gk)n]+222p1(1-2x1)+⋯+pk(1-2xk),有Pn1kh(a1,⋯,ak)≥h(x1,⋯,xk),P(x1,⋯,xk)∈[0,],(4)21其中00,Q()<0,知Q(x)在k

6、k2xi211(0,)内恰有一个根,得a1=a2=⋯=ak.下面证a1=⋯=ak=.22P-PPPnkkkz1PPPPk(1-2x)1zA-1记h(x)=h(x,⋯,x)=()n[xn-(1-x)n]+,h′(x)=(2x)+[2(12PnAA-1Pk-x)]-2,其中=A∈(0,1).PnA-1A-1A-1A-1记P(A)=(2x)+[2(1-x)]-2.有P′(A)=(2x)ln(2x)+(2-2x)ln(2-2x).A-12A-12P"(A)=(2x)ln(2x)+(2-2x)ln(2-2x)>0,P′(A)严格递增,P′(A

7、)0,于是q(x)严格递增,又q()=0,故q(x)<0,即P′(1)<0,P′(A)22zz<0知P(A)严格递减,则P(A)>P(1)=0,即h′(x)>0,h(x)严格递增.于是有h(a1,⋯,ak)=zz1111h(a1)

8、证.2222—433—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.(2)al的l(≥1)个分量为0,不妨设ak+1=⋯=an=0,1≤n-k=l≤n-1