九年级一元二次方程讲义

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1、一元二次方程讲义教师寄语：我与世界相遇，我自与世界相蚀，我自不辱使命，使我与众生相聚。--------------剑桥大学训言【知识点精讲】:1.一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)2.一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为：4．根的判别式：当b2-4ac＞0时，方程有实数根．当b2-4ac=0时，方程有实数根．当b2-4ac＜0时，方程实数根．【思想方法】1.常用解题方法——换元法2.常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想【例题精讲】:

2、例1．已知一元二次方程有一个根为零，求的值．例2．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？例3．已知关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0(1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长为a=4，另两边的长b．c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【知识点分类精练】:考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。练习：1

3、、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）ABCD2.当k时，关于x的方程是一元二次方程。3、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。4、方程的一次项系数是，常数项是。5、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；练习：1、已知的值为2，则的值为。2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数

4、式的值。4、已知，，，求5、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。6、方程的一个根为（）AB1CD7、若。考点三、根的判别式根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。练习：1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是()A.B.C.D.3、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：若，则二次三项式为完全平方式；反之，若为完全平方式，则.考点四、根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。⑵主要内容：⑶应用：整体代入求值。练习：1、已知一个

5、直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.B.3C.6D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、、、之间的运算关系.2、解方程组：说明：一些含有、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。【数学故事】:小学时成绩平平的华罗庚，进入中学时，成绩还是起色不大，但惟独对数学情有独钟，与众不同

6、的是，他的作业不是按部就班的模仿老师的做法，而是喜欢在练习本上＂涂鸦＂，就是我们主张的让孩子自己自主探索做法的过程．可见让现如今的主张让孩子自主探索对孩子思维的发展的好处．在独具慧眼的王维克老师的鼓励下，在熊庆来教授的帮助下，经过自己的刻苦学习和研究，成了一位自学成才、没有大学毕业文凭的数学家。华罗庚也为青年树立了自学成才的光辉榜样．文凭在一定的范围内和能力是成正比的，可是，有些时候，我们错过了一个代表自己能力的机会时，是可以通过后天的刻苦来弥补的，虽然，这样的刻苦需要付出的太多，让我们记住他激励后人的话吧：＂不怕困难，刻苦学习，是我学好数学最主要的经验”，“所谓天才就是*坚持不断的努力。”

7、【当堂测验】:一、填空1．下列是关于x的一元二次方程的有_______①②③④⑤⑥2．一元二次方程3x2=2x的解是．3．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是．4．已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2-m=．5．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则的值为．6．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是________