正交矩阵的特征多项式及特征根

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1、第!&卷第%期大!学!数!学’()*!&#+*%!"",年!月-.//010234502346-789:*!"",正交矩阵的特征多项式及特征根张德菊#!张晓敏$临沂师范学院数学系#临沂!,<""#%!!!摘!要"以&高等代数习题解’$杨子胥%的两道习题为理论根据#应用正交矩阵的若干性质#给出了正交矩阵特征多项式系数的规律*!关键词"正交矩阵(特征多项式(特征根!中图分类号".%#%*!%!!!文献标识码"-!!!文章编号"%<,!$%;#;$!"",%"%$"%#%$";!!引言和预备正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵#在整个矩阵理

2、论体系中具有举足轻重的作用#它具有很好的性质#因此其特征多项式和特征根有某些独特的规律2首先看下面的定义)定义!2!!%"I%#则称/为正交矩阵&!如果一个*阶实矩阵/有//GW/G/W3#即/GW/!!"!定义!2"!设/为*阶矩阵#任取&%#*#&/行和&%#*#&/列#位于这些行和列的交点上的/个元素组成一个/阶行列式#称为矩阵/的/阶主子式2!&"引理!2#!设*阶方阵/W$)&=%$&W%#!#*#*(=W%#!#*#*%的特征多项式为**I%C/$F%W3F3I/3WFXM%FX*XM*I%FXM*#则其中M为/的一

3、切/阶主子式的和乘以$I%%/#即/)&&)&&*)&&%%%!%/)&&)&&*)&&/!%!!!/M/W$I%%"2%*&%+*+&/**********)&&)&&*)&&/%/!//引理!2$!矩阵/的/阶主子式和等于/的一切可能/个特征根乘积之和2!%"引理!2%!正交矩阵的行列式为n%2引理!2M!!"1#/I%都是正交矩阵&!若/是正交矩阵#则/G#/!;"引理!&V!正交矩阵的特征根模为%&引理!&W!%"I%也是/的特征根2!若!"是正交矩阵/的特征根#则!"!&"引理!2X!设H是一个三阶正交矩阵#且3H3W

4、%#则$C%H有一个特征根等于%$CC%H的特征多项式有形式C$F%WF#!I5FX5FI%$I%*5*&%2!&"引理!2!Y!设/为正交矩阵#$C%若3/3W%#则/的任意/阶子式与其代数余子式相等($CC%若3/3WI%#则/的任意/阶子式与其代数余子式仅差一符号2推论!2!!!设/为*阶正交矩阵#$C%若3/3W%#则/的任意/阶主子式等于其余子式#且/阶主子式的余子式为/的*I/阶主!!收稿日期"!""#$",$%;%#!大!学!数!学!!!!!!!!!!!!!!第!&卷子式!"CC#若3/3WI%$则/的任意/阶主子

5、式与其余子式仅差一符号$且/阶主子式的余子式为/的*I/阶主子式2"!正交矩阵的特征多项式定理"2!!设/为*阶正交矩阵$C"F#W3F3I/3为/的特征多项式$则/"*#当3/3W%"C#*为偶数时$**I%C/"F#W3F3I/3WFXM%FX%XM*I%FXM*$*其中M$%$$M/I%WM*I/X%"/W!#*W%2!"CC#*为奇数时$**I%C"F#W3F3I/3WFXM%FX%XM*I%FXM*$*I%其中M$!$%$$M!/WIM*I/"/W%#*WI%!"(#当3/3WI%$"C#*为偶数时$**I%C/"F#

6、W3F3I/3WFXM%FX%XM*I%FXM*$*其中M$%$$M/I%WIM*I/X%"/W!#*WI%2!"CC#*为奇数时$**I%C/"F#W3F3I/3WFXM%FX%XM*I%FXM*$*I%其中M$!$%$$M/WM*I/"/W%#*W%2!证!据引理%2&知正交矩阵/的特征多项式为**I%C/"F#W3F3I/3WFXM%FX%XM*I%FXM*$%&%%&/6其中M为/的一切/阶主子式的和乘以"I%#/为/的/阶主子式$/为/阶/2令B/W//&&%%&/7%&%%&*I/6主子式B的代数余子式$1为B的余子

7、式2/*I/W//&&%%&*I/7!"&X%X&#"*#若3/3W%$则B/W//W"I%#%/1*I/W1*I/2因B为/的/阶主子式$所以1为/的*I/阶主子式$故/的一切/阶主子式之和等于/的/*I/一切*I/阶主子式之和2"C#*为偶数时$C"F#有奇数项$由B$且M为所有B之和乘以"I%#/I%$M为/I%W1*I/X%/I%/I%*I/X%所有1之和乘以"I%#*I/X%$其中"I%#/I%*I/X%"*为偶数#2故*I/X%W"I%#**M/I%WM*I/X%!"/W!$%$#$!M*W"I%#3/3W%&!"C

8、C#*为奇数$C"F#有偶数项$由B$B$且M为所有/阶主子式之和乘以/I%W1*I/X%/W1*I//"I%#/$M为所有*I/阶主子式之和乘以"I%#*I/$其中"I%#/与"I%#*I/相差一符号2故*I/*I%*M/WIM*I/!"/W%$!$%$#$!