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1、第10期电子学报Vol.32No.102004年10月ACTAELECTRONICASINICAOct.2004PS类Bent函数的一种构造方法1,222常祖领,陈鲁生,符方伟(1.北京邮电大学理学院,北京100876;2.南开大学数学科学学院,天津300071)(n/2)-1(n/2)-1nn摘要:PS类bent函数类是所有2或2+1个F2的/不交的0维子空间的指示函数的模2和所组2成的函数的集合.这些函数具有很好的代数结构并在密码学中有很多应用.如何来刻画PSbent函数的代数范式一直nn/2n是公开的难题.构造PS类bent函数关键在于如何将F2划分为2+1个维子空间.本文给出一
2、种划分的方法,从2而构造出PS类bent函数,并给出了对应的代数范式.关键词:Bent函数;代数范式;Galois域;线性化多项式中图分类号:TN91811文献标识码:A文章编号:037222112(2004)1021649205OneMethodforConstructingBentFunctionsofClassPS1,222CHANGZu2ling,CHENLu2sheng,FUFang2wei(1.SchollofScience,BeijingUniversityofPostsandTelecommunications,Beijing100876,China;2.College
3、ofMathematicalScience,NankaiUniversity,Tianjin300071,China)Abstract:TheclassofPSbentfunctionsisoneinterestingclassofbentfunctions,theyhavegoodalgebraicstructureandhavemanyapplicationsincryptography.Theyarealsousefulforstudyingthegeneralstructureofbentfunctions.Unfortunately,theconstruc2tionofPSb
4、entfunctionsistheoretic,itisstillanopenproblemtocharacterizethealgebraicnormalformsofPSbentfunctions.Inthispaperwestudythepropertiesofsuchfunctions,andonemethodtoconstructPSbentfunctionsandthecorrespondingalgebraicnormalformsareprovided.Keywords:bentfunction;algebraicnormalform;Galoisfield;linea
5、rizedpolynomial[1,7]nnp1引言Farland)类.我们令p=2,则有F2={(x,y),x,yIF2}.M类中的bent函数具有如下形式:我们用F2表示元素为0和1的有限域,其中的加法运算f(x,y)=x#P(y)©g(y)n用©来表示,一个布尔函数f(x)是从F2到F2的函数,其中pp其中P是F2上任意的置换,而g是F2上任意的布尔函数.另x=(x1,,,xn).函数f(x)可以表示成一个n变量的多项式[1]nn一类是PS(PartialSpread)类.F2的子空间E的指示函数定f(x1,,,xn)=a0©(©aixi)©(©aijxixj)©,©a12,nx
6、1x2义为i=11FiXjFn,xn,1xIE,IE(x)=其中的系数a0,aij,,,a12,nIF2.f(x)的这种表示称为f(x)0x
7、Ep-1p-1n的代数范式(algebraicnormalform).这个多项式的次数就是这PS类是所有2或2+1个F2的/不交的0p维子空间的n个函数的次数.f(x)在XIF2处的Walsh变换定义如下:指示函数的模2和所组成的函数的集合,其中/不交的0表示Wf(X)=(-1)f(x)©X#x任意两个这样的子空间只交于0元素,所以任意两个这样的EnnxIF2子空间的直和是F2.这类函数的对偶函数具有同样的形式,其中X#x表示X和x的内积.若函数
8、f(x)的Walsh变换满足把所有的p维子空间用它们的对偶空间代替即可.文[1]中用
9、Wn/2f(X)-+p-1p-1nf(X)
10、=2(-1)PS(PS)来表示所有2(2+1)个F2的不交的p维子也是bent函数.我们称f是f的对偶函数.f的对偶函数就是f空间的指示函数的模2和所组成的函数的集合.PS类的构造本身.只是理论性的,如何来刻画这类bent函数的代数范式一直是[3~6]公开的难题.从PS类bent函数的定义我们可以看出,构造这Bent
