信号系统总结6～～

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1、第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换原因：信号衰减太慢或不衰减（为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与ft()相乘）。2.拉氏变换的导出∞∞−σt−σt−jtω−(σ+jω)tFTfte[()]=∫fte()⋅edt=∫fte()dt−∞−∞令s=σ+jω∞−st则：象函数：Fs()=LTft[()]=∫ftedt()−∞1σ+jω−1st原函数：ft()=LT[()]Fs=∫Fseds()2πjσ−jω3.拉氏变换的收敛域∞−stFs()存在的条件：fte()dt<∞∫0−−σtlim()fte=0（充分条件）t→∞信号

2、特点收敛域特点有始有终，能量有限坐标轴落于−∞，全部s平面都属于收敛区幅度即不增长也不衰减而等于稳定收敛坐标落于原点，s平面右半平面属于收敛区n值，或随时间tt,成比例增长的信号αt按指数规律增长的信号e，只有当σ>α时才收敛，所以收敛坐标为σ0=α右边信号收敛域在收敛轴以右的s平面，即σ>α左边信号收敛域在收敛轴以左的s平面，即σ<β双边信号收敛域为s平面的带状区域，即α<σ<β二.拉氏反变换KKK部分分式展开法11121pFs()=++⋅⋅⋅++Fs()1pp−12(s−s)(s−s)(s−s)111pK=(s−s)Fs()1111ss=1dpK=[(s−s)Fs()]12

3、11ss=1dsMi−11dpK=[(s−s)Fs()]11i−111ss=1(i−1)!dsstst留数法1s=pi一阶级点的留数Re[()sFse][(=s−pFsei)()⋅]sp=ik−1st1dst2s=p是k阶极点Re[()sFse]=[(s−pFse)()⋅]ik−1isp=i(k−1)!ds注意：留数法中的Fs()应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。三.拉氏变换的性质1.拉氏变换的性质连续拉普拉斯变换性质及其对偶关系∞−σt拉氏变换：Fs()=∫fte()dt−∞1σ+jωst傅氏反变换：ft()=∫Fseds()2πjσ−jω连续拉普拉斯变换对

4、相对偶的连续拉普拉斯变换对名称连续时间函数ft()拉氏变换Fs()备注名称连续时间函数ft()拉氏变换Fs()备注αft()+βft()αFs()+βFs()1212线性收敛域σ>σσ,>σ收敛域为函数收敛域重叠部分121sfata(),≠0F()aa尺度比例变换△1收敛域：σ>σc收敛域：σ>aσc,a>0ft(−tut)(−t)Fse()−st0fte()st0Fs(−s)000时移△2复频移收敛域：σ>σ收敛域：σ>σ收敛域：σ>σ收敛域：σ−σ>σccc0cd−d时域微分性质ft()sFs()−f(0)△3s域微分性质−tft()Fs()△4dtds−1−tFs()f(

5、0)f()τdτ+∫−∞ssft()∞时域积分性质Fsds()△5s域积分性质t∫s110−(1)−−其中f(0)=∫ftdt()−∞1时域卷积性质ft()*()htFsHs()()s域卷积性质ftpt()()Fs()*()Ps2πj初值定理f(0)+=lim()ft=limsFs()f()∞=lim()ft=limsFs()t→0+s→∞△6终值定理t→∞s→0△62.拉氏变换的性质备注备注序号备注内容s1s−t0fat(−tuat)(−t)↔F()ea,σ>σ△11.既有时移又有尺度变换：00caa既有时移又有复频移：e−stt0(−0)ft(−tutt)(−)↔e−st0

6、Fs(+s)000∞2.证明：LTe[−stt0(−0)ft(−tut)(−t)]=e−stt0(−0)ft(−tedt)−st00∫0t0∞∞令：x=−ttdx,=dt则：LTe[−stt0(−0)ft(−tut)(−t)]=e−sx0fxee()−sx−st0dt=e−st0fxe()−(ss+0)xdt=e−st0Fs(+s)000∫0−∫0−0注意：时移特性只适于求ft(−tut)(−t)的拉式变换00△2∞右边信号可写作ftτ()=∑ft0(−nTut)(−nT)，其中ft0()=ut()−ut(−t0)n=0ndft()nn−1−n−2'−(n−1)−△3n↔sFs

7、()−sf(0)−sf(0)−⋅⋅⋅−f(0)dtnndFs()△41.()−tft()↔nds∞∞∞d∞−st−st−st−st2.证明：QFs()=ftedt()QFs()=ftedt()=ft()[e]dt=[−tftedt()]=LT[−tft()]∫0−∫0−∫0−ds∫0−−−t0tt0t证明：Qfxdx()=fxdx()+fxdx()∴LT[fxdx()]=LT[fxdx()]+LT[fxdx()]∫−∞∫−∞∫0−∫−∞∫−∞∫0−△5−01(1)−−t∞t−st1LT[fx