线性空间中的相关与无关集

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1、2.10线性空间中的相关与无关集10-A线性空间中的相关与无关集定义.线性空间V中的的集合S，如果在S中存在不相同的有限个元x1，…，xk和相应的不全为零的标量集c1，…，ck，使得则称S为相关集。如果S不是相关集就称为无关集。在这种情况下，对S中不同的有限个元x1，…，xk和标量c1，…，ck，由可以推得，c1=c2…=ck=0.虽然相关于无关是关于元素集合的性质，我们也可以将这些术语用于元素本身，例如，无关集中的元素称为无关元。如果S是有限集，上述定义与第8章中向量空间Vn是一致的，然而，当下定义并不限制到有限集。例1.如果S的一个子集T

2、是相关的，则S本身是相关的。逻辑等价于断言：无关集的每一个子集是无关的。例2.如果S中的一个元素是另一个元素的数乘，则S是相关的。例3.如果O∈S，则S是相关的。例4.空集是无关集。第8章中讨论了向量空间Vn中许多相关和无关集的例子。下面的例子说明函数空间中的这些概念。每一种情况，基础线性空间都是定义在实线上的实值函数全体。例5.例6.集。要证明这个结论，只需证明对每一个n，由n+1元u0,u1,…，un组成的多项式是无关的。形式的关系式意思是对对所有的实数t，有当t=0时，就得到c0=0.微分（10.1）式并取t=0就得到c1=0.重复这个

3、过程，就得到没一个系数ck=0.例7可以对n归纳证明。当n=1时，结论显然成立，因此，假设结论对n-1个指数函数成立，考虑使得成立的标量c1，…，cn.设aM是n个数a1，…，an中最大的，用数乘（10.2）两边，得到.如果k≠M，则数ak-aM是负的，因此，在等式（10.3）中，当x→+∞时，对每一个k≠M的项都趋于0，于是就得到了cM=0。从（10.2）式中消去第M项，利用归纳假设留下的n-1个系数ck，每一个都是0.定理10.5.设S是由线性空间V中的k个元组成的无关集，L(S)是由S张成的子空间，则L(S)中的任何k+1个元是相关的。

4、证明.当V=Vn时，定理10.5归结为定理8.8，只要我们考察定理8.8的证明就会发现，证明仅仅依赖于Vn是线性空间而并不涉及Vn的其他特殊性质。因此定理8.8给出的的证明对任意的线性空间V都是有效的。10-B基和维数定义.如果线性空间V中的有限集S是无关的且张成V，则称S为V的有限基。如果空间V具有一个有限基，或仅由一个O元组成，称其是有限维的，否则称V是有限维的。定理10.6.设V是有限维的线性空间，V中的每一个有限基有相同的个数。证明.设S和T是V的两个有限基，S由k个元数组成，T由m个元素组成，因为S是无关的且张成V，由定理10.5，

5、V中的k+1个元是相关的，因此，V中每个超过k个元的集合是相关的，因为T是无关集，则必有m≤k.交换S与T，同样断言证明k≤m.因此，k=m.定义.如果线性空间V有n个元素的基，则称整数n为V的维数，记n=dimV.如果V={O}，则称V有零维数。例1．空间Vn有维数n，n个单位向量组成了它的一个基。例2．所有次数不超过n的多项式p(t)全体组成的空间有维数n+1.n+1多项式组成的集合每一个次数不超过n的多项式都是这n+1多项式的线性组合。例3．微分方程的解空间有维数2，两个函数组成它的一个基，每一个解都是这两个函数的线性组合。例4．所有多

6、项式p(t)全体组成的空间是无限维的.虽然无限集张成了这个空间，但没有有限个多项式集合长成这个空间。定理10.7.设V是有限维线性空间，dimV=n.则有下列命题成立：(a)V中任意无关元素集都是V的某个基的子集；(b)n个无关元素集都是V的基。证明.(a)的证明与定理8.10的(b)是一致的，而(b)的证明与定理8.10的(c)是一致的。设V是n维的线性空间，考虑它的一个基，其元素按给定的顺序排列为e1，e2，…，en.我们用n元数组来记这样的有序基。如果x∈V，我们可以用这些基元素的线性组合来表示x：等式中的系数确定了一个n元数组（c1，

7、…，cn），它由x唯一确定。事实上，如果有x的另一e1，e2，…，en的线性组合则与（10.4）式相减，就得到因为基元素是无关的，推得对每一个i有ci=di.所以有（c1，…，cn）=（d1，…，dn）.由等式（10.4）确定的n元有序数组（c1，…，cn）的分量称为x关于有序基（e1，e2，…，en）的分量。