题海拾贝,“判别式”妙用

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1、上海中学数学·2012年第1～2期39题海拾贝，“判别式"妙用312400浙江省嵊州市第一中学毛冲在高中数学解题中，往往会遇到有关一元二次方程n+bx+c一0(n、b、C∈R，n≠o)的问，所以2x+的最大值是．J题，而利用判别式△一b2—4ac解题，却能使问题例3已知口+2b+ab=30，且口>0，6>0，化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果．所试求实数a，b为何值时，幻取得最大值．以，如果已知条件中含有二次方程或二次函数，解：构造关于n的二次方程，应用“判别式则可考虑直接应用判别式，点击思维，灵活运

2、用．法”．设ab=Y(1)由已知得口+2b+=30(2)1．与函数相关的最值问题由(1)(2)消去b，对a整理得n+(y-30)口～J_0+2y=0(3)例1求函数{壹的值域·对于(3)，由△一(一30)。一4×2y≥0，y一解：将原函数变形得yx+(3一1)-z+6y68y+900≥0，解得≥50或≤18．一2—0，把此方程看作关于z的一元二次方程，由y=ab~30，舍去≥50，得≤18．该方程一定有解，利用方程有解的条件求得Y把一18代人(3)(注意此时△一0)，得n的取值范围，即为原函数的值域．一1

3、2a+36—0，即口一6，从而6—3．当一0时，一2(说明函数值可以为0)．故当n一6，6—3时，n6取得最大值为18．当≠0时，令△一(3一1)一4(6一2)≥112．与不等式相关的证明问题0，解得一÷≤≤÷．例4已知，Y∈R，证明：2x+2xy+Y故原函数的值域为IL一÷0，÷0I．一4x+5>0恒成立．例2(2011年浙江理科16)设，Y为实解：不等式变形为+2+2一+5>0．数，若4+Y+xy1，则2+Y的最大值是将不等式左边看作关于Y的二次函数，令_厂()=Y+2xy+2x一4+5．由、yfR，

4、从而解：设2x+Y—t，则Y—t一2x代人4x+有△一4x。一4(2x一4x+5)一一4(一2)。一4o恒成立，即2x+2+解析二：转化为：如图评注：这几道高考及其模拟题都以当平面9，已知l0AI—l0Bl一2，向量数量积是零时，两向量互相垂直这一基本10CI一1，AC_l_BC，求lABl性质为出发点，从而与圆的轨迹思想相匹配，进的取值范围．一步

5、研究圆与点，圆与线，圆与圆几种位置关取AB中点D，设D(x，B系．使得小题小解，感受到向量几何意义运用的1)，lcDl一寺IAB{一lBDl，巧妙，训练学生对问题转化能力及运用数形结厶图9从而由圆的垂径定理得合思想解决问题的能力．lODl+lCDl一lOBl，32+y+(x-1)+y。解决平面向量问题主要有两种思路：代数法和几何法．圆在平面向量中的应用也不例外．=4，化简得(一专)+y2=7，故D的轨迹是在具体求解中，应结合题目的具体特点，使“数”圆．C(1，0)，由点与圆的位置关系可知lCD1∈与“形”

6、各展其长，相辅相成，让学生的逻辑思维[，学]’l舳l一2lCDI∈一，+]．与形象思维完美统一起来．40上海中学数学·2012年第1～2期一4x+5>O恒成立．5．与数列相关的问题3．与三角函数相关的范围问题例8设d，d为实数，首项以n，公差为d例5已知sina+sin。J9+siny：1，求证：的等差数列{a}的前项和为S，满足S。S+lsin2a+sin2+sin27l≤2√2．15—0，则d的取值范围是．证明：由已知得COS。Ⅱ+COS+COS’，一2，解：由已知得(5a+lOd)(6a+15d)+

7、15构造函数_厂()一(xsina—COSO~)+(xsinp—0，化简得关于a的一元二次方程2口+9ad—COsp)+(xsinT-cosT)=。一(sin2a+sin2fl+lOd。+1=0．由于方程有实数解，所以△≥0，+sin27)+2．解得d≥2√2或≤一2√2．因f()≥0，所以A一(sin2a+sin2fl+6．与物理相关的应用问题sin27)一8≤0，故lsin2a+sin2fl+sin27l≤2√2成立．二次三项式的判别式在高中物理解题中主点评：本题利用构造法，解题过程简捷、流要体现在三

8、个方面：(1)判断某种物理现象能否畅，并且需要有较强的直接观察能力．实现；(2)“似少条件”问题的求解；(3)极值问例6已知d++y一7t"，求证：一Y+题的求解．≥2xycosa+2yzco+2zxcos7．例9如图1证明：视不等式的左边减去右边为一个关所示某足球运动员于l，f的二次函数，那么有-厂()=z。一2(ycosa-+-在距球门1lm处罚zcos7)+(y+一2yzcosfi)．球，准确地从横梁其判别式△一4(yc