量纲分析在基础物理学中的应用

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1、2007年第1期漳州师范学院学报(自然科学版)No.1.2007年（总第55期）JournalofZhangzhouNormalUniversity（Nat.Sci.）GeneralNo.55文章编号：1008-7826（2007）01-0061-05量纲分析在基础物理学中的应用付丽萍(漳州师范学院物理与电子信息工程系,福建漳州363000)摘要:量纲分析法是研究物理问题的重要方法之一.本文在阐述量纲分析的基本理论∏定理的基础上，运用量纲分析解决具体的物理问题，并举出一些实例进行了论证.关键词:量纲

2、分析;∏定理;应用中图分类号:O303文献标识码:A1引言量纲理论和应用，在科学研究和物理学领域中有着十分重要的地位，量纲分析是基于量纲一致的原则[1]上，分析物理量之间关系的一种方法.“量纲分析法是研究物理问题重要方法之一”.在国际单位制中有7个基本量,它们的单位叫做基本单位.基本量纲具有独立性,不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲.“所有不是基本量的量叫做导出量，它们的单位叫做导出单位.导出单位随基本单位的改变而改变的依[2]从关系,叫做该导出量的量纲式,简称量纲.将物理量写为基本量幂函数相

3、乘的形式,叫做量纲分析”.[2][3]在基础物理学教科书中,关于量纲的应用一般是介绍“单位换算，检验公式正确性”，等少数方面的简单应用.本文对此作些探讨，旨在深入量纲分析的应用.[4]2量纲分析中∏定理量纲分析法的理论核心是∏定理，定理的主要内容首先由E.Buckingham在1914年提出的.对于某个物理现象，若影响该现象的量纲变量有n个P,P,…,P，而我们所选的单位制中有m个基12n本量（n>m）,即基本量纲有m个，于是可以将这些有量纲变量，以乘积形式分组编排成独立的无量纲量，并将各无量纲量组

4、成函数关系式.这些无量纲量用∏表示，故称∏定理.设变量P,P,…,P代表n个有量纲变量，如速度、密度及压力等，我们可以将这些变量写成如下的12n量纲齐次关系式：f(P,P,…,P）=0(1)12n可表达成相应的无量纲形式：F（∏1,∏2,…,∏n-m）=0(2)对上述的∏定理证明如下：选前m个线性无关量,则其余n-m个量P,P,...,P中的任何一个皆可表示成前m个量的线性组m+1m+2n合,即[P]=x[P]+x[P]+...+x[P](j=1,2,…,n-m)(3)m+j1j12j2mjm收稿日

5、期:2006-09-23作者简介:付丽萍(1962-),女,河南省鲁山县人,副教授.62漳州师范学院学报（自然科学版）2007年写成矩阵形式,即⎡a,1m+j⎤⎡a11"a1m⎤⎡x1j⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢#⎥=⎢##⎥⎢#⎥(j=1,2,…,n-m)(4)⎢a⎥⎢a"a⎥⎢x⎥⎣m,m+j⎦⎣m1mm⎦⎣mj⎦由于等式右边不等于零,故对于每个j有一组解(x,x,",x),又由于j=1,2,…,n-m，因而上述共有n-m1j2jmj组,即[P]=[P]x1j[P]x2j[P]xmj(j=1,2,…,n-

6、m)(5)m+j12m由上式可定义∏j≡P−x1jP−x2j"P−xmjP(j=1,2,…,n-m)(6)12mm+j此式是一些无量纲的量,这样的无量纲量共有n-m个.111设想把P1,P2,…,Pm的量度单位分别改成原来的,,",则在新单位制中这些量的数值ααα12m'''P,P,",P有如下关系12m'P=aP(i=1,2,…,m)(7)iii由量纲关系式(5)表明,物理量p,p,…p在新旧单位制之间的数值关系为m+1m+2n'x1jx2jxmjP=a,a,"aP(j=1,2,…,n-m)(8)

7、m+j12mm+j−1取a=P,由式(7)及(8),则有数值ii⎧⎪pi′=,1i=,2,1",m⎨(9)⎪⎩pm′+j=∏J,j=,2,1"n−m(9)代入(1)中，即得m个f(1,1,…,1,∏1,∏2,…,∏n-m,)≡F(∏1,∏2,…,∏n-m)=0即∏定理得证.3量纲分析在基础物理学中的应用3.1量纲分析在力学中的应用例1利用∏定理计算均质物体对于过质心垂直轴的转动惯量.图1为质量为m，对角线长为d，密度均匀的正方形，求它对通过正方形的中心且与棒垂直的转轴的转动惯量.解：对于质量均匀分布

8、平面物体,当转轴确定后,其转动惯量与该物体的质d量m及其大小和形状有关.而正方形的大小和形状只由长度d唯一确定.因此描述它的转动惯量的方程中应包含m和d,即图1f(I,m,d)=0(10)第1期付丽萍:量纲分析在基础物理学中的应用63采用国际单位制,根据∏定理,得到n-m=3-2=1,应有一个独立的无量纲积.即1个∏数.由于式(10)中三个物理量的量纲分别为：2dimI=ML,dimm=M,dimd=L,此题中涉及量较少,无需用矩阵方式列表求解.即可得出一个无量纲积为