第13周习题课内容

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1、第13周习题课内容积分计算和应用一、积分（广义积分）计算621.∫x[x]dx0解：注意到函数[x]在不同区间内取值为常数，再结合积分的区间可加性：61234562222222∫x[x]dx=0∫xdx+1∫xdx+2∫xdx+3∫xdx+4∫xdx+5∫xdx00123452345633333x2x3x4x5x=++++=28533333123452x2.∫[e]dx0xx解：注意到1≤e<2等价于0≤x

2、2ln2ln3ln4ln5ln6ln72x∫[e]dx=∫1dx+∫2dx+∫3dx+∫4dx+∫5dx+∫6dx+∫7dx00ln2ln3ln4ln5ln6ln734567=ln2+2ln+3ln+4ln+5ln+6ln+2(7−ln)7=14−ln()!7。23456+∞13.I=∫dx0221(+5x)1+xπ解：考虑变换x=tant，0≤t<，无穷积分化为普通积分：2π2/π2/π2/costdtdtd(sint)I=⋅==∫22∫2∫221(+5tant)cost1(+5tant)cost1(+5tant)c

3、ost000π2/11d(sint)du1du===（代换u=sint）∫22∫2∫22cost+5sint1+4u4)2/1(+u000111=arctan(2u)=arctan2022+∞arctanx4.dx∫1x2解：应用分部积分去掉arctan：+∞+∞+∞+∞arctanx1arctanxd(arctanx)dx=−arctanxd()=−+∫1x2∫xx∫x111+∞+∞2+∞dxπ1d(x)π1du=arctan1+=+=+∫2∫22∫x1(+x)42x1(+x)42u1(+u)111+∞+∞π111π

4、1uπ1=+∫(−)du=+ln=+ln242u1+u421+u4211−x+∞xe5．dx∫01(+e−x)2解：用分部积分：−x+∞+∞+∞+∞xe1xdxdx=−xd()=−∫01(+e−x)2∫1+e−x1+e−x∫1+e−x001这时右端2项都发散，分部积分法失效。考虑先用分部积分法求出不定积分（原函数），再用广义N-L公式：−xxxe1xdxxedxdx=−xd()=−=−∫−x2∫−x−x∫−x−x∫x1(+e)1+e1+e1+e1+ee+1xxx−xx−x=−ln(e+)1=−x−ln(1+e)=−−l

5、n(1+e),−x−xx1+e1+ee+1由广义N-L公式+∞−x+∞xedx⎡x−x⎤1−1=−−ln(1+e)=+ln(1+e)。∫−x2⎢x⎥11(+e)⎣e+1⎦1e+12+∞sinxπ+∞sinxcosx+∞sinx6．设已知dx=，求A=dx，及B=dx。∫0x2∫0x∫0x2解：利用积分变量代换计算+∞sin2xt=2x1+∞sintπA=∫dx=∫dt=；02x20t4考虑分部积分求B：+∞2+∞∞21sinx+12B=−∫∫sinxd()=−+d(sinx)00xxx0+∞2sinxcosxπ=∫dx

6、=2A=。0x2二、积分的几何应用1.求阿基米德螺线r=aθ，0≤θ≤2π，与极轴所围图形的面积。解：所围区域在极坐标下表示D={(r,θ0

7、)≤r≤aθ0,≤θ≤2π}根据极坐标下的面积公式知，所求面积为2π22π12a3432A=∫(aθ)dθ=θ=πa。263002．设有曲线y=x−1,过原点作其切线，求此曲线、切线及x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。1解：可以求得切线为y=x,切点为(1,2).2围成的区域如右图，旋转后所得旋转体表面由两部分组成：由y=x−1绕x轴旋转所得到的旋转面面积为

8、22A=2πy1+y′dx1∫12π()=π∫4x−3dx=55−1；161由切线y=x绕x轴旋转所得旋转面面积为222A=2πy1+y′dx2∫1215=2π∫xdx=5π；022π(A=A+A=115−1)1263.求曲线xyaxy442+=(22+)所围图形的面积。解：将曲线写成极坐标形式（注意x=rcosθ,y=rsinθ），得到22ar=，44sinθ+cosθ于是面积2π2π2π2121a22tanθ+1A=r(θ)dθ=dθ=2ad(tanθ)，2∫2∫sin4θ+cos4θ∫0tan4θ+100令t=t

9、anθ，则积分化为无穷区间上的积分2−12+∞t+12+∞d(t−t)A=2adt=2a∫0t4+1∫0(t−t−1)2+2（参考上周习题课习题）+∞−12t−t2=2aarctan=2πa。203/23/23/24.求星形线x+y=a（a>0）的弧长。解：将曲线写成参数形式：33x=acost，y=asint，0≤t≤2π，dx