chp3 综合练习题

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1、湖北民族学院理学院《数值分析》教学辅导材料陈以平编写第三章综合练习题1.函数逼近的概念函数逼近是指“对函数类A中给定的函数f (x ),记作f(x )ÎA,要求在另一类简单便于计算的函数类B中求函数p(x)ÎBÌA,使p (x )与f (x )的误差在某中度量意义下最小”。函数类A通常是区间[a ,b ]上的连续函数，记作C[a ,b ],称为连续函数空间，而函数类B通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等。2.最佳一致逼近多项式的概念*2n给定f(x )ÎC[a ,b ]，若存在P(x)ÎH=span{1,x,x,L

2、,x}使得nn** f(x)-P(x)=maxf(x)-P(x)=minf(x)-P(x)=minmaxf(x)-P(x)¥a£x£bP(x)ÎHn¥P(x)ÎH n a£x£b *则称P (x )是f (x )在[a ,b ]上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼n近多项式。3.最佳平方逼近多项式的概念*2n给定f(x )ÎC[a ,b ]，若存在P(x)ÎH=span{1,x,x,L,x}使得nn2 bb **22 f(x)-P(x)2 =òa[f(x)-P(x)]dx=Pm(x)inÎHf(x)-P(

3、x)2 =Pmin(x)ÎH òa [f(x)-P(x)]dxnn*则称P (x )是f (x )在[a ,b ]上的最佳平方逼近多项式。n4.最小二乘拟合的概念对给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,L,m),要求在函数类j=span{j0,j1,L,jn}中找*一个函数y=S(x),使误差平方和mmm 2 2*22 d2 =ådi=å[S(xi)-yi]=minå[S(xi)-yi ]S(x)Îji=0i=0i =1 其中S(x)=a0j0(x)+a1j1 (x)+L+anjn (x)(n

4、院《数值分析》教学辅导材料陈以平编写带权的最小二乘法：mm 2*22d2=åw(xi)[S(xi)-f(xi)]=Sm(xin) Îjåw(xi)[S(xi)-f(xi )]i=0i =0其中w(x)³0是［a,b］上的权函数。5.最小二乘拟合曲线的求法给定数据点(xi,yi)(i=0,1,L,m)及j=span{j0,j1,L,jn}(n

5、)jj (x i )jk (x i ),(f,jk )=åw(x i )f (x i )jk (x i )ºd k i =0i =0则S(x )中的参数向量(a0,a1 ,...,a n )是下列方程组(称为法方程)决定Ga=d.T T 其中a=(a0, a1,..., an), d=(d0, d1,..., dn), é(j0, j0)(j0, j1)L(j0, jn)ùêú(j, j)(j, j)L(jj)G=ê10111nú。êMMMúêúë(jn, j0)(jn, j1)L(jn, jn)ûm 22此时平方误差为：

6、

7、

8、 d

9、

10、 2=åw(xi )[S (x i )-f (x i )].i =0n若j=span{1,x1,L,x}(n

11、 n (2)向量的1范数：答案: x1 =åxi i =12 湖北民族学院理学院《数值分析》教学辅导材料陈以平编写n 1 2 2 (3)向量的2范数：答案: x2 =(åxi )i =1 1 n p p (4)向量的p范数：答案: xp =(åxi )i =1 7.对连续函数空间C[a,b ]，常用的几种范数有：(1)¥范数：答案: f¥=maxf(x)a£x£b b (2)1范数：答案: f1 =òa f(x)dx1 b 2 2 (3)2范数：答案:f=(òf(x)dx)2 a 8.设X 为一个内积空间，u1,u2 ,L

12、,un ÎX，则u1,u2 ,L,u n 线性无关的充要条件是格拉姆（Gram）矩阵é(u1,u1)(u2,u1)L(un ,u1 )ùêú(u,u)(u,u)L(u,u)G=ê1222n 2 úêMMMMúêú(u,u)(u,u)L(u,u)ë1n2 nnn û为(答案:非奇异)9.x=[2,3,1,