强连通分量Tarjan算法

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1、强连通分量有向图强连通分量的Tarjan算法[有向图强连通分量]在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(stronglyconnected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(stronglyconnectedcomponents)。下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(

2、N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。[Tarjan算法]Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,Low(u)=Min{DFN(u),Low(v),(

3、u,v)为树枝边,u为v的父节点DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。算法伪代码tarjan(u){DFN[u]=Low[u]=++Index//为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u)//将节点u压入栈中foreach(u,v)inE//枚举每一条边if(visnotvisted)//如果节点v未被访问过tarjan(v)//继续向下找Low[u]=min(Low[u],Low[v])el

4、seif(vinS)//如果节点v还在栈内Low[u]=min(Low[u],DFN[v])if(DFN[u]==Low[u])//如果节点u是强连通分量的根repeatv=S.pop//v退栈,为强连通分量中一个顶点printvuntil(u==v)}算法流程演示从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。返回节点3,继续

5、搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。可以发现,运行Tarjan算

6、法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向

7、图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者RobertTarjan命名的。RobertTarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。tarjan算法的C++程序voidtarjan(inti){intj;DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;instack

8、[i]=true;Stap[++Stop]=i;for(edge*e=V[i];e;e=e->next){j=e->t;if(!DFN[j]){tarjan(j);if(LOW[j]

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