函数在开区间上的最大值与最小值

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1、·10中等数学招脚甲,烈甲甲只.甲,,.口甲~函数在开区间上的最大值与最小值文泽《数,新编全日制十年制学校高中课本(函数图象两端点的圆圈表示函数在该点,“”。,学》第四册在导数和微分的应用一章无定义)因此与闭区间上同一问题相比,“〔a,b〕上的可导函,必须先研中介绍了求闭区间较究函数f(x)在开区间上是否有f(x)在二「a,b〕上的最大值与最小值”数最大值或最小值存在?其次是当它们存在。a,,的方法此时函数f(x)在〔bl上连时如何求出?,。a,b〕上,续必有最大值与最小值存在对于定义在在闭区间〔我们是将可导函,,.”b)[a,b),(a,b〕,上的值,同非闭有限区间(数

2、f(幼在(ab)内的驻点上一,十co),一o,,f(的与f(b)相比较而得到其最大值与最和无穷区间(O(b)一,,a,+,a,+。,(ob〕(o)〔o)上小值的在开区间(ab)上讨论这个间题,时,一个自的函数书中只考查了当它们出现在应用问然的想法就是可否补充定义函数,“xa,题中且由问题的实际情况断定它们在定f()在区间端点的值f()和f(b)使”a,,义域开区间内确有最大值或最小值存在的f(x)扩充为〔b〕上的连续函数然后。,情形而在该章的习题九中却给出了一个再除去那种最大值或最小值仅为f(a)或f(b)。一般函数的情形二x+x2+x3.二x3一x,y5一3634例1研

3、究函数了3在(一23)·,、_。在无穷区间〔一2+O)上求最大值最巨的最大值与最小值,.。小值的作业使学生感到无从人手故本文丫y=护一3x解在一co,十co)上可导从拟对一般可导函数在(而连续,一2,开区间上的最大值与故可作为〔,。最小值间题作一简3〕上的连续函数来考查/。{尹=2一3二单的介绍又,.’y3x,xZ一,.,开3(z),.y在(一2首先注意到.3)内有驻点翔=一1,xZ二区间上的可导函数户汉/二a,}.:f()未必在(b)上1比较以下四个函数值}。!y(一2)=一2,有最大值与最小值l。图1中依次给出了可石y(一1)=2,一二,导函数f(x)在(b)尽以y(

4、1)=一2,心、。上仅有最大值仅有厂了侧ly(3)=18l,y一2,3〕最小值和既无最大值易知在〔上,也无最小值的例子的最大值在右端点达到图2933丰第一期。,最小值在左端点和驻点在十O只有左极限对于基本初等函数可。x:二1达到故此函数y在知一2,3)(上仅有最小值11一1‘七Lc‘只人=一二一2,.厄y(1)而无最大X碱一O口。值(图2)11,生,。,1段rc议K二万’然而开区间(b)X夕+CO,上的可导涵数未必都能112一1皿a,b〕a二0(a>1)扩充为闭区间〔上X一钾一C劝。,的连续函数例如函数x,一,a110(0

5、卜=o(.”

6、拓广得到所谓无穷大量的概需要把函数极限的概念加以拓广。量x仅从区,‘,念若对于任意给出的正数M(不论多么间(ab)内部趋近于端点时,xx。函数,,大)只要充分接近点(可以从单侧接f(x)的极限同时极限值可以不是,。近)不等式有限数x,f()>M()“”的第一种拓广得到所谓单侧极限概,xx。。恒成立则称函数f()在点处为正无穷念极限大量,记为11:,if(火)和11:,if(x)x=+.二爷xo一01)xo+01imf()co分别称作函数f(x)在点x。处的左极限X.瑞沪盆。。和右极限,·上述定义中若不等式()改为其中x一,f()

7、处为负无穷大量,记则称函数f(x)在点x,.,。+0令今x>x。且xx。,为x。,形这里把数轴上的一个点象地看作有两“侧”,“侧”为x。一。,右“侧”为l福111f(x)=一co.左笼xox。+Ox。=0,一。十O中(当时习惯上用和分别.。,,xx。,x表示0一O和O+0)特别地当我们把一co和形象地讲当点充分接近氨时函数f()“”“”+co形象地看作数轴上最左端和最右端的值可以大(小)于任何一个给定的正(负)的“点”的话,x。(分别称为负无穷远点和正无穷数则f(x)便是在点处的一个正(负),一co只有右极限,。,远点)则函数