张有中老师讲义

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1、張有中老師講義§1-1極限（Limit）一、基本定義：(1)設f(x)為定義在集合A上的函數x為一已知數，則我們有以下三個定義：0Ä若對任意e>０，恒可找到一個d>０，使得當００，恒可找到一個d>０，使得當００，恒可

2、找到一個d>０，使得當００，恒可找到一個夠大的M>０，使得當x>M時，恒使f(x)-l０，恒可找到一個夠大的M>０使得當x<-M時，恒便f(x)-l

3、®－¥二、基本定理(1)極限若存在，則其極限值必唯一，亦即，若已知limf(x)=l且limf(x)=l，　12x®x0x®x0　則l=l恒成立o12(2)極限的四則運算（加，減，乘，除）成立，亦即，若已知limf(x)=l且limg(x)=l12x®x0x®x0　，則以下四式成立：Älim(f(x)+g(x))存在且lim(f(x)+g(x))=l+l　，12x®x0x®x0Älim(f(x)-g(x))存在且lim(f(x)-g(x))=l-l　，12x®x0x®x0Älim(f(x)g(x))存在且lim(f(x)g(x))=l

4、l　，12x®x0x®x0f(x)f(x)l1Älim存在且lim()=，當l¹０時2x®x0g(x)x®x0g(x)l2(3)三明治（或夾擠）定理（Sandwichprinciple）　：　若當x接近x時，f(x)£g(x)£h(x)恒成立且limf(x)=limh(x)=l，則limg(x)存0x®x0x®x0x®x0　在且　limf(x)=lx®x0sinxsinxsinx(4)lim=lim=lim=1x®z0xx®0-xx®0x1張有中老師講義精選範例31.　試用極限定義證明：limx=27x®34322x-6x+x+32.

5、　試用極限定義證明　lim=-8x®1x-1113.　試用極限定義證明　lim=-x®-12x-57x-214.　試用極限定義證明　lim=x®4x-44115.　試用極限定義證明　lim=x®4x22ìx+1　，０£x<1ïï2x　，　1£x<26.　設f(x)=íï3-x　，　2£x<3ïî0　，x£3　　問下列敘述，何者正確？(A)limf(x)=3(B)limf(x)=2(C)limf(x)存在x®1x®1x®2(D)limf(x)=22(E)limf(x)=1x®2-x®33ìx　，x£27.　設f(x)=í　試求limf(

6、x)î4-2x，x>2x®2x-28.　求　limx®2x-2x-x9.　求limx®0x-x3x-2x-210.　求lim(+x+2)-lim(+x+2)+-x®2x-2x®2x-222[]x-1+3-[]x11.　求lim+2x®2x-4[][]2[]2x-x12.　求lim+2x®1x-4[]2x+113.　求lim-2x®1x+114.　求(a)lim[][]x-x　，n為整數x®n(b)lim[]x-[]x　，n為整數x®n115.　求(a)lim[]xx®０　x12(b)lim[]xx®０　x2張有中老師講義3x-816.

7、　求　limx-22(2+h)-417.　求　limh®0h1118.　求　lim(+)x®2(x-1)(x-2)(x-2)(x-3)13x-x-1x19.　求　lim(-)x®1x2-1x-12f(1+h)-f(1)20.　若f(x)=x-2x+3　，求limh®0ha+h-a21.　求　limh®0hx+7-322.　求　limx®2x+2-2x-2-2x-523.　求　limx®3x-3-2x-624+x+x-224.　求　limx®024+x-x-2332+h-2-h25.　求　limh®0h926.　求　limx1+-2x®

8、0x427.　求　(a)lim+2x®3(x-3)1(b)lim+2x®3x+x-63(c)lim-2x®0x+8x7x+528.　求　(a)limx®¥2x2-3x+63-6x+x+2(b)limx®¥2x2+x2-3