两点之间线段最短的探究与再思考

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1、两点之间线段最短的探究与再思考　　初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。自从那次课后，不知大家有没有进行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。　　探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示）　　解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。如图所示。线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。　　总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。下面一题，就是上一题的变形，你

2、还会做吗？　　探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示）　　解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。所以，PB=PB＇。因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。　　结论：我们完全也可以把

3、以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。　　探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。(如图所示)　　解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。　　总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。下面我们看一看四边形一边确定。　　探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点

4、C，D组成四边形，使四边形周长最小。（如图所示）　　解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。如图。ABCD便是周长最小的。　　（2）下面我把上一题简单变形，把锐角变为直角，大家再看，本图有没有似曾相识之感？对了，我们见过的，只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系，再把AB两点固定位置，这样，就变为了月考附加题中的最后一题。　　原题：在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D(m,o),当四边形ABCD的周长最短时，求m/n的值。　　解：

5、依题意画图得：　　　　　　　由探究问题四得知，作B关于Y轴的对称点B＇，A关于X轴的对称点A＇。连接A＇B＇，他们与X轴，Y轴的交点便为所求。如图所示，过A＇与B＇两点的直线的函数解析式可求。设过A＇与B＇两点的直线的函数解析式为y=kx+b.　　依题意得：-8k+b=-3,4k+b=5　　解得，k=2/3,b=7/3　　所以，（0,n）为（o,7/3）　　(m,o)为(-3.5,o)　　所以，m/n=-2/3