二次函数知识点

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1、第22章二次函数一、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。叫做二次函数的一般式。注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次整式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。（3）二次函数是常数，自变量的取值为全体实数二、二次函数的图像1、二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标；④最值；⑤增减性。2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.三、抛物线的平移方法：左

2、加右减自变量，上加下减常数项抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以抛物线平移时首先化为顶点式――――――――――――――――→向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位↓↓――――――――――――――――→向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位四、二次函数的解析式1、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴：直线x=顶点坐标：()（2）顶点式：（a≠0），对称轴：直线x=顶点坐标为（,）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,对称轴:直线

3、x=(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).2、二次函数的解析式三种形式的选择：（1）.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.（3）.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。.五、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()二次函数的常用性质：1、增减性：当a>0时，在对称轴左侧（），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（），y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（），

4、y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（），y随着x的增大而减少；2、最大或最小值：二次函数是否有最值，由a的符号确定。当a>0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝当a<0时，函数有最大值，并且当x=，y最大＝注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。3、二次函数中，的含义：表示开口方向：>0时，抛物线开口向上<0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）六、抛物线中a、b、c的作用1、a决定抛物线的开口方向和开口大小的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；当a<0时，函

5、数开口方向向下；的大小决定抛物线的开口大小：当越大时，开口越小；当越小时，开口越大；相等，抛物线的开口大小、形状相同.2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=）左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。注意点：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）①当时，抛物线经过原点;②当时,与轴交于正半轴；③当时,与轴交于负半轴.以上当结论和条件互换时，仍成立.

6、如抛物线的对称轴在轴右侧，则.八、抛物线（）与x轴的交点个数与x轴交点，令y＝0，则有即解一元二次方程①当△>0时，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点。②当△＝0时，方程有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点。③△<0时，方程没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。