《3.三个正数的算术-几何平均不等式》同步练习1

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1、《三个正数的算术—几何平均不等式》同步练习11．函数y＝x2(1－5x)(0≤x≤)的最大值是(　　)A．4B.C.D.答案：C2．若x>0，则4x＋的最小值是(　　)A．9B．3C．13D．不存在答案：B　3．已知a.b.c∈R＋则(＋＋)(＋＋)≥________.答案：94．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值是________．答案：45．已知a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.证明：∵a，b，c为正数，∴a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3∴(a＋b＋c)(

2、a2＋b2＋c2)≥3×3＝9.∴(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．6．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)A．1B．2C．3D．4答案：C7．求函数y＝3x＋(x>0)的最值．解析：∵x>0，∴y＝3x＋＝＋＋≥3＝3.当且仅当＝＝，即x＝时取符号．∴当x＝时，函数y的最小值为3.8．θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin2θ＋cos2θ＝1的应用．解析：∵

3、y2＝sin2θcos2θcos2θ　＝×2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)　≤()3＝.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝时取等号．∴ymax＝.9．已知正数a，b满足ab2＝1，求a＋b的最小值．解析：因为a，b是正数，ab2＝1，所以a＋b＝a＋＋≥3＝.故a＋b的最小值是，当且仅当即时取到最小值．10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋

4、≥3(abc)－，所以2≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．11．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，

5、然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．解析：设OO1为xm，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，于是底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)，帐篷的体积为V(x)＝(8＋2x－x2)·＝(4－x)(x＋2)(x＋2)＝(8－2x)(x＋2)(x＋2)≤3＝×64＝16.当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2m时帐篷的体积最大，其值为16m2.