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1、2015年全国高中数学联赛模拟试卷（11）姓名__________一.填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是__________.2.设为（为直角）的三边长，点在直线上.则的最小值是__________.3.若，且为正整数，则__________.4.掷6次骰子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则__________.5.已知点在曲线上，点在曲线上，则的最小值是__________.6.已知多项式满足：（），则__________.7.四面体中，已知，则二面角的平面角的余弦值是_______
2、___.8.设向量，若对任意和，都有恒成立，则实数的取值范围是_______________.二、解答题：（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本题满分16分）设数列满足，.求证：当时，.(其中表示不超过的最大整数)．10.（本题满分20分）过点作动直线交椭圆于两个不同的点，过作椭圆的切线，两条切线的交点为.（1）求点的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，当四边形的面积为4时，求直线的方程.11.（本题满分20分）若对于任意，都有，求的最大值.2015年全国高中数学联赛模拟试卷（11）参考答案1
3、.解：令sinx+cosx=t,则t=,2sinxcosx=t2－1,关于t+1在和上均递增,所以,或,即值域.2.解：因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2,所以m2+n2≥1,等号成立仅当mb=na且am+bn+c=0,解得(m,n)=(),所以m2+n2最小值是1.3.解：由知可能为1,3,11,33,从而解得4.解:当时，概率为;当时,，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，概率
4、为；故,即,从而.5.解：因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称．所求的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的两倍,设P(x,ex)为y=ex上任意点,则P到直线y=x的距离,因,所以,,即min=.6.解:解：用代替原式中的得：解二元一次方程组得，所以：，则．CAOB（分析得为一次多项式，可直接求解析式）7.解:不妨设AC⊥OC⊥BC,∠ACB=,∠AOC=∠BOC=,∠AOB=.因=即，两端除以并注意到,即得,将=450,=300代入得,所以,.8.解:令则,,因,所以,对任意恒成立或或对任意恒成立或.9.证
5、明：对于任何正整数，由递推知．由知数列递减.又对任意,．即有,从而.于是，当时，；当时，由递减得.故．所以，.10.解（1）依题意设直线方程为，与椭圆联立得，，由得设，则过椭圆的切线分别为……①和……②①②，并且由及得，同理，故点的轨迹方程为（在椭圆外）（2），O到PQ的距离为，M到PQ的距离为，，四边形的面积当时解得或，直线为或11.解:由均值不等式得,∴ABCDEFGM·ON,等号成立当且仅当,故的最大值为100.
