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1、第一单元集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算一、选择题1．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )A.A⊆CB．C⊆AC．A≠CD．A＝∅解析：A⊆A∪B＝B∩C⊆C，则A⊆C.答案：A2．设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P
2、P∈D，
3、PP0
4、≤
5、PPi
6、，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是( )A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：∵
7、PP0
8、≤
9、PPi
10、，∴点P在P0Pi的垂直平分线将平面分成的靠近P0的区域内，即点P在如图六边形ABCDEF内(包括
11、边界)，故选D.答案：D3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x
12、x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x
13、y＝}，B＝{y
14、y＝2x，x＞0}，则A×B＝( )A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1)∪(2，＋∞)C．[0,1]D．[0,2]解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]，B＝{y
15、y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：A4．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答
16、案：B二、填空题5．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则下图中阴影部分表示的集合是________．解析：图中阴影部分表示的集合是B∩(∁ZA)＝{2,4,6}．答案：{2,4,6}6．(原创题)已知集合U＝R，A＝{x
17、x2＋＝1}，B＝{y
18、y＝x＋1，x∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)等于________．解析：A＝{x
19、－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y
20、y＝x＋1，x∈A}＝[0，2]，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某班有36名同学参加
21、数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由容斥原理知共有(26＋15＋13)－36＝18名同学同时参加两个小组，没有人参加三个小组，于是同时参加数学和化学小组的有18－(6＋4)＝8(人)．答案：8三、解答题8．设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x、y的值．解答：∵A∩B＝C＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B，－1
22、∈B.即有x2－x＋1＝7⇒x＝－2或x＝3.①当x＝－2时，x＋4＝2，又2∈A，∴2∈A∩B，但2∉C，∴不满足A∩B＝C，∴x＝－2不符合题意．②当x＝3时，x＋4＝7，∴2y＝－1⇒y＝－.因此，x＝3，y＝－.9．已知集合A＝{x
23、y＝},B＝{y
24、y＝a－2x－x2}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．解答：由15－2x－x2≥0，即(x＋5)(x－3)≤0得－5≤x≤3，∴A＝[－5,3]．又y＝a－2x－x2＝a＋1－(x＋1)2≤a＋1，∴B＝(－∞，a＋1]，A∩B＝A即A⊆B.∴a＋1≥3.即a≥2.因此实数a的取值范围是[2，＋∞)．10．设
25、A＝{x
26、x2＋4x＝0}，B＝{x
27、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B⊆A，求实数a的取值范围．解答：A＝{x
28、x2＋4x＝0}＝{0，－4}，因此A的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}．又B⊆A，若B＝∅，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝4(2a＋2)<0，解得a<－1；若B＝{0}，解得a＝－1；若B＝{－4}，无解；若B＝{0，－4}，解得a＝1；综上所述，实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.1．设集合A＝{(x，y)
29、y≥
30、x－2
31、，x≥0}，B＝{(x，y)
32、y≤－x＋b}，A∩B≠∅.(1)b的取值范围是________；(2)若(
33、x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是______．解析：(1)如图所示，A∩B为图中阴影部分，若A∩B≠∅，则b≥2；(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，x＋2y在(0，b)处取得最大值，∴2b＝9，b＝.答案：(1)b≥2 (2)2．(2009·北京)已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝1，且＝an；(3)证明：当n＝
