二极磁铁的三级Lie映射3

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1、第33卷第6期原子能科学技术Vol.33,No.61999年11月AtomicEnergyScienceandTechnologyNov.19993二极磁铁的三级Lie映射吕建钦(北京大学重离子物理研究所,北京,100871)用Lie代数方法分析了带电粒子在二极磁铁中的运动,得到在六维相空间中相对论粒子的三级近似轨迹。关键词Lie映射　因式分解　三级像差中图法分类号O15215粒子轨迹的非线性效应在高效率束流传输系统的设计、加速器中粒子运动的非稳定性研[1]究和微米束离子光学系统的设计等工作中变得越来越重要。自从A1J1Dragt发表了有关文章后,L

2、ie代数方法作为研究非线性动力学的一种有力工具,已被许多人所采用。本工作用Lie代数方法分析粒子在二极磁铁中运动的三级像差。1　坐标系和Hamilton函数在分析中,采用曲线坐标系(r,y,U),这里:r是任意粒子的轨道半径,y是粒子到中央平面的垂直距离,U为粒子的偏转角。假定均匀磁场B0指向y的正方向,则磁场的矢势为1A<=-rB0,Ar=Ay=0(1)2[2]以时间t为独立变量的Hamilton函数为122222Ht=c[(pr-qAr)+(p<ör-qA<)+(py-qAy)+m0c]2(2)õõõ2其中:pr=moCr+qAr,py=moCy

3、+qAy,p<=m0Cr<+qrA<(3)为正则动量。将式(1)代入式(2),得122222Ht=c[pr+(p<ör-qA<)+py+m0c]2(4)如果将正则变量由G=(r,y,<,pr,py,p<)变换到F=(S,x,y,PS,Px,Py),其中:S=ct-0c<öX(X为粒子的角速度),x=r-r0,PS=(pt-pt)ö(p0c),Px=pxöp0,Py=pyöp0(5)而且r0为参考轨道的半径,p0为其机械动量,c为光速,pt=-Ht。与新的正则变量F相应的3北京大学重离子物理开放实验室资助项目吕建钦:男,52岁,加速器物理专业,教授收稿

4、日期:1998203209　收到修改稿日期:1998207206第6期　　吕建钦:二极磁铁的三级Lie映射527Hamilton函数为x0222221H=-r0(1+)[(PS+PS)-Px-Py-m0c]2+r0qB02x20r0(1+)-c(PS-PS)öX(6)2p0r0在这种情况下,独立变量为U。将Hamilton函数在平衡轨道附近作展开,得∞H=∑Hi(7)i=0其中:r0r0H0=-+2;2B0H1=0;2xxPSr022r02H2=++(Px+Py)+22PS;2r0B022B0C0121212r02r02r03H3=xPx+xPy+2

5、2xPS+PxPS+PyPS+32PS;222B0C02B02B02B0C0121213r044r022H4=xPxPS+xPyPS+32xPS+(Px+Py)+PxPy+2B02B02B0C084r03222r0514(2-1)(Px+Py)PS+22(42-22)PS(8)4B08B0C0B0C0B0C0　　　⋯2Lie变换及其因式分解[3]根据经典力学原理,当粒子从某一初始位置qi(广义坐标)运动到另一位置qf时,其正则坐标F将从Fi变化到Ff。这是一个正则变换,表示为Ff=MFi(9)qf其中:M=exp[-∶∫H(Fi,q1)dq1∶](1

6、0)qiM定义了一个与H相关的Lie变换。一般,与任一函数f相关的Lie变换M表示为M=exp(∶f∶)(11)其中:∶f∶称为Lie算符,表示为∶f∶g=[f,g](12)2这里:[,]为Poisson括号。∶f∶的幂定义为重Poisson括号运算。例如,∶f∶表示下述运2算:　　　　　　　　　　　　　　∶f∶g=[f,[f,g]](13)0∶f∶的零次幂为恒等运算:　　　　∶f∶g=g(14)Lie变换可以写成一个幂级数∞nM=∑∶f∶ön!(15)n=0qf令f=-∫H(Fi,q1)dq1(16)qi[1]将<看作独立变量q1,将式(16)和式

7、(8)代入式(11),并利用因式分解定理,得528原子能科学技术　　第33卷M=⋯M4M3M2(17)其中:M2=exp(∶f2∶),M3=exp(∶f3∶),M4=exp(∶f4∶),⋯(18)这里f2=-

8、映射H2可以写成3个互相幂零的项之和:xSySH2=H2+H2+H2(21)xS12r021yr02Sr02