线性代数关于等价、相似、合同的对比

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1、定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。　　等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；　　对称性若A与B等价，则B与A等价　　传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：　　（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B　　原理：AX＝B时（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。　　解：由方程XA＝BXAA-1＝BA-1　　解为x=BA-1　　要注

2、意的是，矩阵方程XA＝B的解为x=BA-1，而不可以写成x=A-1B。　　因为　　X满足XA＝BXT满足ATXT＝BT　　从而有　　XT=（AT）-1BT=（BA-1）T　　所以，可以先用上述方法求解ATXT＝BT，再把所得结果XT转置即得所需的X＝BA-1。定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义5.2.1设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶

3、可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A和B是相似的，记为A～B。当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。　　同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。　　事实上，有矩阵等式　　（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。　　事实上，有　　（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。　　事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1

4、APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。定理5.2.2n阶方阵A与对角阵P-1AP=相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似.定义5.3.4如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都

5、正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。定义5.3.5若是Rn中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组）定理5.3.1正交向量组必线性无关。必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组)定义5.3.5如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。定义5.4.1设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。定理5.4.3　（对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得　　对角矩阵中的n个对角元就是A的

6、n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。定理5.4.4两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵定义6.1.3设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交，则,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。　　合同关系也有　　反身性：即任给方阵A，有，所以，A与A合同；　　对称性：若A与B合同，则存在可逆阵P使得，则所以B与A也合同。　　传递性:因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P

7、，Q，使得，　　，注意PQ一定可逆，所以A与C合同。定理6.2.1　实对角矩阵为正定矩阵当且仅当中的所有对角元全大于零。定理6.2.2　设n阶矩阵是正定矩阵，则A中所有对角元定理6.2.3　设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵。定理6.2.4　同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。定理6.2.5　n阶对称矩阵是正定矩阵的n个特征值全大于零定理6.2.6　n阶对称矩阵是正定矩阵的n个顺序主子式推论　（1）n阶对称矩阵是正定矩阵的正惯性指数为n.（2）n阶对称矩阵是正定矩阵合同于单位矩

8、阵。(3)任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.