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《9-连分数与佩尔方程的最小整数解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、连分数与佩尔（Pell）方程的最小正整数解（0）基本命令①LCM[2,3,5]：求2，3，5的最小公倍数。GCD[3,6,9]：求3，6，9的最大公因子。②RealDigits[2008]：对2008进行数字分解，并别求出2008是几位数。程序执行后结果：{{2,0,0,8},4}③Drop[{x,y,z},{3}]：从向量{x,y,z}中去掉第3个元素。（1）连分数表示法一个“既约”分数（分子可以比分母大，但无公因子）可以表示成连分数的形式。例如将表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction[]得到结果：{0，1，1，1
2、，5}。这表示二次整系数方程的根叫做二次无理数。初等数论中已经证明：一切二次无理数表示成连分数，都具有无穷循环节。例如将表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction[]得到结果：{4，{3，6}}。这表示其中{3，6}用花括号括起来，表示无穷循环节。反之，我们可以通过一个数的连分数表示形式求其正常形式。例如：FromContinuedFraction[{1，2，3}]得到结果：。这表示：连分数又例如，FromContinuedFraction[{2,1,{4,2,3}}]得到结果：。这表示：6（2）佩尔（Pell）方程的最
3、小正整数解公元前３世纪下半叶古希腊科学家阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212年）在其论著中记载了一个牲畜问题，普遍称作群牛问题。历史上对这问题的研究丰富了初等数论的内容。原文用诗句写成，大意是：西西里岛草原上有一大群牛，公牛和母牛各有４种颜色。设、、、分别表示白、黑、黄、花色的公牛数，、、、分别表示这白、黑、黄、花色的母牛数。它们满足：、、、、、、（1）不附加条件的群牛问题求解方程组：、、、、、、在Mathematica4.1软件包中编程如下［3］：6执行后得到结果：其中，是自由变量。求分母的最小公倍数，就可以得到
4、整数解：LCM[367903,3679030,7358060,790,1580]执行后得到最小的z=7358060，将其代入方程组及需求解：执行后得到：即，百色母牛（头），黑色母牛（头），黄色母牛（头），杂色母牛（头）；百色公牛（头），黑色公牛（头），黄色公牛（头），杂色公牛（头）。不附加条件的群牛问题，总数最少为4149426239697（头），即，大约四万一千四百九十四亿头。（2）附加条件的群牛问题求解方程组：、、、、、、并且，为一个三角数，即，，其中，6是一个正整数，以及为一个长方形数，即，①较简问题因为牛的身长与体宽不一样，“较
5、简问题”表示，将牛排成长方形，两边的数目不一样。有文章说，较简问题求解后，牛的总数近６万亿头。②完全问题（长与宽的数目相等），即，将牛排成正方形，两边的数目相等时，称为“完全问题”。求解完全问题，最后归结为求解二元二次方程不定方程（Pell方程）X2–410286423278424Y2=1这个不定方程的解，已经通过计算机在几分钟之内求出。这个方程的最小正整数解是名副其实的天文数字(求解结果在后面)。17世纪，费尔马重新提出求解不定方程X2–A*Y2=1的解的问题，其中A是正的非完全平方数。他提出此方程有无穷多组正整数解。同时他向所有的数
6、学家挑战：求出此方程的无穷多组正整数解。英国皇家学会的第一任会长布龙克尔勋爵（LordBrouncker）给出了解，但他未能证明解有无穷多个。瓦利斯（J.Wallis，1616--1703）彻底解决了这个问题。佩尔（J.Pell，1611—1685）在他的一本著作中附录了瓦利斯的结果。欧拉在他于1732年发表的一篇论文中错误地称X2–A*Y2=1为Pell方程，这个错误就沿袭至今。假设A是正的非完全平方数，则是二次无理数，它的连分数循环节表示形式是：当无穷循环节中数字的个数r是偶数时，取的近似分数：得到解x、y，这就是Pell方程X2–
7、A*Y2=1的解；当无穷循环节中数字的个数r是奇数时，取的近似分数：得到解x、y，这就是Pell方程X2–A*Y2=1的解。6例1公元650年左右，首创0不能作除数的印度数学家Brahmagupta（婆罗摩及塔）曾致力研究Pell方程a·x2+1=y2,他说：“在一年里头能解出X2–92Y2=1的人是一位数学家”。用Mathematica5编程求解如下：得到：{9,{1,1,2,4,2,1,1,18}}8无穷循环节中数字的个数共8个（即r=8是偶数的情况），再输入：得到分数：即x=1151，y=120是此Pell方程X2–92Y2=1的
8、最小正整数解。例2据说有人曾向英国数学家瓦利斯提出挑战，要他解X2–313Y2=1，结果，他在一小时之内就找到正确的答案。17无穷循环节中数字的个数共17个（即r=17是奇数的情况），再输入：得到分数：即x
