AWGN信道的最佳检测

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1、4.2波形与矢量AWGN信道波形AWGN信道由输入与输出的关系式描述：（1）式中，是M个可能信号｛，……，｝之一，所选的每一个信号基于先验概率，是零均值高斯白噪声，其功率谱密度为/2。假设利用施密特正交化方法，导出标准正交基｛，1｝来表示信号，利用标准正交基得到信号的矢量表达形式为｛，｝。噪声过程不能以基{全部展开，我们将噪声过程分解为两个分量。一个分量（记为）是噪声中以{展开的部分，即噪声在这些基函数构建的空间中的投影；其余部分（记为）是噪声中不能以基函数表示的部分。以此定义，得到=，=（2）和=—（3）注意=，=（4）利用（2）和(3)，式（1）可表示为=（

2、5）由定义（6）式中==（7）得到=，（8）由上述讨论可见，对最佳检测器的设计，AWGN波形信道，（9）等效于N维矢量信道，（10）4.2.1矢量AWGN信道的最佳检测加性AWGN矢量信道是对波形AWGN信道的等效矢量信道，它由（10）描述，式中噪声矢量的各分量是均值为零、方差为/2的高斯随机变量。该信道的MAP检测器为（11）式中应用了简化公式的下列步骤：（a）:是正常数，可以舍去。（b）：是增函数。（c）：/2是正的，且与正数相乘并不影响的结果。（d）：可以舍去，因为它与m和无关。（e）：已定义（12）为偏差项。由式（11）可见，AWGN矢量信道的最佳（MA

3、P）判决规则为（13）在信号等概率的特殊情况下，即（所有m），该关系式可以简化。在这种情况下，式（11）步骤（c）可写为（14）式中，的最大化等价于其负值的最小化，也就等价于其平方根最小化。式（14）的几何解释特别方便。接收机接收r并以标准欧式距离在所有中寻找与r最近者，这样的检测器被称为最近邻或最小距离检测器。这也说明在这种情况下，由于信号等概率，MAP(最大后验概率）和ML（最大似然）检测器是一致的，两者都等价于最小距离检测。在这种情况下，判决和的边界是与和等距离的点的集合，就是这两个信号点连线的垂直平分线。一般来讲该边界是一个超平面。在N=2的情况下该边界

4、是一条直线，当N=3时为平面。这些超平面完全确定了判决域。图4-2-1所示的例子为一个具有4个信号点的二维（N=2）星座，实线表示判决域的边界，它是连接各信号点虚线的垂直平分线。图4-2-1等概率信号传输的判决域当信号等概率且等能量时，偏差项独立于m，可以从式（13）中舍去。在这种情况下，最佳判决规则简化为（15）一般判决域为（16）注意，判决域至多用M-1个不等式描述，在某些情况下，其中一些不等式被其他不等式所支配因而是多余的。同时也注意每一个边界的一般形式为（17）该式为超平面方程。因此，各判决域的边界一般为超平面。由式（2-2-47）得知，（18）和（19

5、）因此，AWGN信道的最佳MAP检测规则可表示为以下形式（20）以及ML检测器的形式为（21）在这点上引入三种度量是很方便的，后面讲经常用到。定义距离度量为（22）它表示r和之间欧式距离的平方。变型距离度量定义为（23）当与m无关而被舍去时，它等于距离度量。相关度量定义为变型距离度量的负值，即（24）尤其要注意，使用术语度量只是为了方便。一般，这些量都不是数学意义上的度量。根据这些定义，最佳检测规则（MAP规则）一般可表示为（25）且ML检测规则表示为（26）1.二进制双极性信号传输的最佳检测在二进制双极性信号传输方式中，=和=—。消息1和2的概率分别为p和1-

6、p。显然，这是N=1的情况，两个信号的实力表示只是标量=和=—，其中是每个信号的能量且等于。按照式（16），判决域为（27）式中，门限定义为（28）星座和判决域如图4-2-2所示。图4-2-2双极性信号传输的判决域注意，当时，全部直线变为；当时，全部直线变为，这在预料之中。同时可见，当p=1/2时（即消息等概率）=0，判决规则简化为最小距离规则。为了推导该系统的差错概率，利用（4-1-15）得到（29）式中最后一步利用了式（2-3-12）。在p=1/2的特殊情况下=0，差错概率简化为（30）同时可见，由于该系统是二进制的，每一个消息的差错概率等于比特差错概率，即

7、。1.等概率二进制信号传输方式的差错概率在这种情况下，发送机将两个等概率的信号和在AWGN信道上传输。因为信号等概率，这两个判决域由与连线的垂直平分线来划分。由于对称性，发送或的差错概率相等，因此。图4-2-3示出了判决域和与连线的垂直平分线。图4-2-3二进制等概率信号的判决域当假定发送，如果r位于内则发生差错，这意味着r-在-上的投影（即A点）与之间的距离大于，其中。注意，因为发送，，在上的投影变为等于，所以差错概率为（31）或（32）注意，是零均值高斯随机变量，其方差为；因此利用式（2-3-12）得到（33）式（33）是很一般化的，它适用于所有二进制等概率

8、信号传输系统而不管信号的