2013备战高考(含答案)文科数学:7立体几何1

2013备战高考(含答案)文科数学:7立体几何1

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各地解析分类汇编(二)系列:立体几何11.【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则⊥D.若,则【答案】C【解析】C中,当,所以,或当,所以⊥,所以正确。2.【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,三棱锥的高为2,底面三角形的高为3,底面边长为3,所以底面积为,所以该几何体的体积为,选B.3.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考文】在空间,下列命题正确的是()A.平行直线在同一平面内的射影平行或重合B.垂直于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行 【答案】B【解析】A中的射影也有可能是两个点,错误。C中两个平面也可能相交,错误。D中的两个平面也有可能相交,错误。所以只有B正确。4.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学文】某一棱锥的三视图如图所示,则其侧面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体为四棱锥。四棱锥的高为2,底面矩形的两个边长分别为6,4.则侧面斜高,。所以侧面积为,选C.5.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学文】如图,已知在四棱锥中,底面是菱形,底面,,则四棱锥的体积的取值范围是() A.B.C.D.【答案】A【解析】,所以,所以高,底面积为,所以四棱锥的体积为,因为,所以,,即,所以体积的取值范围是,选A.6.【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】如图,某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是(A)(B)(C)4(D)8【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,,所以,选A. 7.【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(A)(B)(C)8(D)4【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以该几何体的体积为,选D.8.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考文】一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等于()A.B.2C.3D.6【答案】A【解析】由三视图可知,四棱锥的底面是俯视图对应的梯形,四棱锥的侧面是等边三角形且侧面和底面垂直,所以四棱锥的高为,底面梯形的面积为 ,所以四棱锥的体积为,选A.如图。9.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为A.B.C.D.【答案】C【解析】由正视图与俯视图可知,该几何体为正三棱锥,侧视图为,侧视图的高为,高为,所以侧视图的面积为。选C.10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】在棱长为的正方体 中,,分别为线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】过做底面于O,连结,则,即为三棱锥的高,设,则由题意知,所以有,即。三角形,所以四面体的体积为,当且仅当,即时,取等号,所以四面体的体积的最大值为,选A.11.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,是侧面内一点,若平面则线段长度的取值范围是A.B.C.D.【答案】B 【解析】取的中点M,的中点N,连结,可以证明平面平面,所以点P位于线段上,把三角形拿到平面上,则有,所以当点P位于时,最大,当P位于中点O时,最小,此时,所以,即,所以线段长度的取值范围是,选B.12.【北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文】已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB=AD=2,BC=4,即PA⊥平面ABCD,PA=2。且 底面梯形的面积为,所以.选A.13.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考文】正三棱柱内接于半径为1的球,则当该棱柱体积最大时,高。【答案】【解析】根据对称性可知,球心位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的底面边长为,则,所以,所以高,由得,即正三棱柱底面边长的取值范围是。三棱柱的体积为,,即体积,当且仅当,即时取等号,此时高。14【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为.【答案】 【解析】将该三棱锥放入正方体内,若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切,所以,则球的表面积为.15.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱的长为______.【答案】【解析】取AC的中点,连结BE,DE由主视图可知.且.所以,即。16.【北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.【答案】【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4, ,底面梯形的上底为4,下底为5,腰,所以梯形的面积为,所以该几何体的体积为。17.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考文】(本小题满分12分)在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为.(1)求证:平面ABD⊥平面CBD;(2若是的中点,求三棱锥的体积。【答案】(1)证明 在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,AD=5,∴OA=4,OD=3,翻折后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=25+25-2×5×5×=32,在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,∴AO⊥平面BCD,又AO⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面CBD.(2)是的中点,所以到平面的距离相等,18.【北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文】(本小题共13分)如图,在菱形中,⊥平面,且四边形是平行四边形.(Ⅰ)求证:⊥; (Ⅱ)当点在的什么位置时,使得平面,并加以证明.ABCDENM【答案】解:(Ⅰ)连结,则.由已知平面,因为,所以平面.又因为平面,所以.………………………………………………6分ABCDENMF(Ⅱ)当为的中点时,有平面.……7分与交于,连结.由已知可得四边形是平行四边形,是的中点,因为是的中点,所以.……………………10分又平面,平面,所以平面.……………………13分19.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,,,且是中点.(I)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面. 【答案】解:(I)连接交于点,连接因为为正方形,所以为中点又为中点,所以为的中位线,所以………………3分又平面,平面所以平面………………6分(Ⅱ)因为,又为中点,所以………………8分又因为在直三棱柱中,底面,又底面,所以,又因为,所以平面,又平面,所以………………10分在矩形中,,所以,所以,即………………12分又,所以平面………………14分20.【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】(本小题共14分)如图1,在Rt中,,.D、E分别是上的点,且,将沿折起到的位置,使,如图2.(Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求证:平面;ABCDE图1图2A1BCDE(Ⅲ)当点在何处时,的长度最小,并求出最小值.【答案】(Ⅰ)证明:…………………………4分(Ⅱ)证明:在△中,.又.由.…………………………9分(Ⅲ)设则由(Ⅱ)知,△,△均为直角三角形.………………12分当时,的最小值是.即当为中点时,的长度最小,最小值为.…………………14分21.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学文】(本题满分14分)已知是矩形,,分别是线段的中点,平面. (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)在棱上找一点,使∥平面,并说明理由.【答案】(Ⅰ)证明:在矩形ABCD中,因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.……………………4分又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.所以FD⊥平面PAF.……………………7分(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且AH=AD.再过H作HG//PD交PA于G,……………………9分所以GH//平面PFD,且AG=PA.所以平面EHG//平面PFD.……………………12分所以EG//平面PFD. 22.【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】(本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,,CC1=4,M是棱CC1上一点.(Ⅰ)求证:BC⊥AM;(Ⅱ)若M,N分别为CC1,AB的中点,求证:CN//平面AB1M.【答案】(Ⅰ)因为 三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC,所以 CC1⊥BC.………………1分因为 AC=BC=2,,所以 由勾股定理的逆定理知BC⊥AC.………………2分又因为AC∩CC1=C,所以 BC⊥平面ACC1A1.……………………4分因为 AM平面ACC1A1,所以 BC⊥AM.……………………6分(Ⅱ)过N作NP∥BB1交AB1于P,连结MP,则NP∥CC1.……8分因为 M,N分别为CC1,AB中点,所以 ,.…………9分因为 BB1=CC1,所以 NP=CM.……………………10分所以 四边形MCNP是平行四边形.…………11分所以 CN//MP.……12分因为 CN平面AB1M,MP平面AB1M, ……………13分所以 CN//平面AB1M.    ………………14分 23.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考文】(满分13分)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC;【答案】:(1)由已知得,MD是△ABP的中位线∴MD∥AP∵MD⊄面APC,AP⊂面APC∴MD∥面APC(2)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点,∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P∴AP⊥面PBC∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC24.【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】(本题共13分)如图三棱柱中,平面ABC,ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.(Ⅰ)求证:MN平面BCC1B1;(Ⅱ)求证:平面A1BC平面A1ABB1.【答案】解:(Ⅰ)连结BC1 ∵点M,N分别为A1C1与A1B的中点,∴∥BC1.........................................................4分∵,∴MN∥平面BCC1B1.........................................6分(Ⅱ)∵,平面,∴.......................................................................................................9分又∵ABBC,,∴........................................................................................12分∵,∴平面A1BC平面A1ABB1................................................................................13分25.【北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文】(本小题满分14分)在四棱锥中,底面是正方形,为的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)若在线段上是否存在点,使?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. 【答案】解:(I)连接.由是正方形可知,点为中点.又为的中点,所以∥………………….2分又所以∥平面………….4分(II)证明:由所以由是正方形可知,又所以………………………………..8分又所以…………………………………………..9分(III)在线段上存在点,使.理由如下:如图,取中点,连接.在四棱锥中,,所以.…………………………………………………………………..11分由(II)可知,而所以,因为所以………………………………………………………….13分故在线段上存在点,使.由为中点,得……………………………………………14分26.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】(本小题满分14分) 在长方体中,,是棱上的一点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)若是棱的中点,在棱上是否存在点,使得∥平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)在长方体中,因为面,所以.………………………………………………………………2分在矩形中,因为,所以.……………………4分所以面.………………………………………………………5分(Ⅱ)因为,所以面,由(Ⅰ)可知,面,…………………………………………7分所以.…………………………………………………………………8分(Ⅲ)当点是棱的中点时,有∥平面.………………………9分理由如下:在上取中点,连接.A1B1CBD1C1ADEPM因为是棱的中点,是的中点, 所以∥,且.……10分又∥,且.所以∥,且,所以四边形是平行四边形,所以∥.…………………………11分又面,面,所以∥平面.…………………………………………………………13分此时,.…………………………………………………………14分

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