2013备战高考(含答案)文科数学：7立体几何1

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各地解析分类汇编（二）系列:立体几何11.【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则⊥D．若，则【答案】C【解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。2.【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.3.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考文】在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合B.垂直于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行 【答案】B【解析】A中的射影也有可能是两个点，错误。C中两个平面也可能相交，错误。D中的两个平面也有可能相交，错误。所以只有B正确。4.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学文】某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥。四棱锥的高为2，底面矩形的两个边长分别为6,4.则侧面斜高,。所以侧面积为，选C.5.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学文】如图，已知在四棱锥中，底面是菱形,底面，，则四棱锥的体积的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，所以高,底面积为,所以四棱锥的体积为，因为，所以，，即，所以体积的取值范围是，选A.6.【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)(B)(C)4(D)8【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A. 7.【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（A）（B）（C）8（D）4【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选D.8.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考文】一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（）A.B．2C．3D．6【答案】A【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是俯视图对应的梯形，四棱锥的侧面是等边三角形且侧面和底面垂直，所以四棱锥的高为，底面梯形的面积为 ，所以四棱锥的体积为，选A.如图。9.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．B．C．D．【答案】C【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】在棱长为的正方体 中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是A．B．C．D．【答案】A【解析】过做底面于O,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.11.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是A．B.C.D.【答案】B 【解析】取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B.12.【北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A.B．C.D.【答案】A【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且 底面梯形的面积为，所以.选A.13.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考文】正三棱柱内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高。【答案】【解析】根据对称性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的底面边长为，则，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面边长的取值范围是。三棱柱的体积为,,即体积,当且仅当，即时取等号，此时高。14【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为.【答案】 【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.15.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.【答案】【解析】取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。16.【北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4， ，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。17.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考文】（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2若是的中点，求三棱锥的体积。【答案】(1)证明　在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，∴OA＝4，OD＝3，翻折后变成三棱锥A－BCD，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32，在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.(2)是的中点，所以到平面的距离相等，18.【北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文】（本小题共13分）如图，在菱形中，⊥平面，且四边形是平行四边形．（Ⅰ）求证：⊥； （Ⅱ）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.ABCDENM【答案】解：（Ⅰ）连结，则.由已知平面，因为，所以平面.又因为平面，所以.………………………………………………6分ABCDENMF（Ⅱ）当为的中点时，有平面.……7分与交于，连结.由已知可得四边形是平行四边形，是的中点，因为是的中点，所以.……………………10分又平面，平面，所以平面.……………………13分19.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，且是中点.（I）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面. 【答案】解：(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为的中位线，所以………………3分又平面，平面所以平面………………6分(Ⅱ)因为，又为中点，所以………………8分又因为在直三棱柱中，底面，又底面,所以,又因为，所以平面，又平面，所以………………10分在矩形中,,所以，所以，即………………12分又，所以平面………………14分20.【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】（本小题共14分）如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；ABCDE图1图2A1BCDE（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．【答案】（Ⅰ）证明：…………………………4分（Ⅱ）证明：在△中，.又.由.…………………………9分（Ⅲ）设则由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．………………12分当时,的最小值是．即当为中点时,的长度最小,最小值为．…………………14分21.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学文】（本题满分14分）已知是矩形，，分别是线段的中点，平面． （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上找一点，使∥平面，并说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°．所以∠AFD=90°,即AF⊥FD．……………………4分又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD．所以FD⊥平面PAF．……………………7分（Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且AH=AD．再过H作HG//PD交PA于G,……………………9分所以GH//平面PFD,且AG=PA．所以平面EHG//平面PFD．……………………12分所以EG//平面PFD． 22.【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN//平面AB1M．【答案】（Ⅰ）因为　三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以　CC1⊥BC．………………1分因为　AC=BC=2，，所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．………………2分又因为AC∩CC1=C，所以　BC⊥平面ACC1A1．……………………4分因为　AM平面ACC1A1，所以　BC⊥AM．……………………6分（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1．……8分因为　M,N分别为CC1,AB中点，所以　，．…………9分因为　BB1=CC1，所以　NP=CM．……………………10分所以　四边形MCNP是平行四边形．…………11分所以　CN//MP．……12分因为　CN平面AB1M，MP平面AB1M，　……………13分所以　CN//平面AB1M．　　　　………………14分 23.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考文】（满分13分）如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；【答案】：(1)由已知得，MD是△ABP的中位线∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC∴MD∥面APC(2)∵△PMB为正三角形，D为PB的中点，∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P∴AP⊥面PBC∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC，AC∩AP＝A∴BC⊥面APC∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC24.【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.(Ⅰ)求证：MN平面BCC1B1;(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1.【答案】解：(Ⅰ)连结BC1 ∵点M,N分别为A1C1与A1B的中点，∴∥BC1．........................................................4分∵，∴MN∥平面BCC1B1．........................................6分(Ⅱ)∵，平面，∴．......................................................................................................9分又∵ABBC，，∴．.......................................................................................12分∵，∴平面A1BC平面A1ABB1．...............................................................................13分25.【北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文】（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】解：（I）连接.由是正方形可知,点为中点.又为的中点，所以∥………………….2分又所以∥平面………….4分(II)证明：由所以由是正方形可知,又所以………………………………..8分又所以…………………………………………..9分(III)在线段上存在点，使.理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，，所以.…………………………………………………………………..11分由（II）可知，而所以，因为所以………………………………………………………….13分故在线段上存在点，使.由为中点，得……………………………………………14分26.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】（本小题满分14分） 在长方体中，，是棱上的一点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）在长方体中，因为面，所以．………………………………………………………………2分在矩形中，因为，所以．……………………4分所以面.………………………………………………………5分（Ⅱ）因为，所以面，由（Ⅰ）可知，面，…………………………………………7分所以．…………………………………………………………………8分（Ⅲ）当点是棱的中点时，有∥平面．………………………9分理由如下：在上取中点，连接．A1B1CBD1C1ADEPM因为是棱的中点，是的中点， 所以∥，且．……10分又∥，且．所以∥，且，所以四边形是平行四边形，所以∥．…………………………11分又面，面，所以∥平面．…………………………………………………………13分此时，．…………………………………………………………14分