2008年全国初中数学竞赛试题

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1、2008年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分)1．已知实数x,y满足，则的值为（　　　）。(A)7　　　　　　(B)　　　　　(C)　　　　　(D)52．把一枚六个面编号分别为l，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是()

2、。(A)(B)(C)(D)3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有()。(A)6条(B)8条(C)10条(D)12条4．已知AB是半径为l的圆O的一条弦，且AB=a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为()。(A)(B)l(C)(D)a5．将l，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么

3、满足要求的排法有()。(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)6．对于实数u，v，定义一种运算“*"为：u*v=uv+v．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是____________。7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是____________分钟。8．如图，在△ABC中

4、，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为____________。9．△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为____________。10．关于x，y的方程的所有正整数解为____________。9三、解答题(共4题，每题l5分，满分60分)11(A)．在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面

5、积值等于

6、OA

7、+

8、OB

9、+3。(1)用b表示k；(2)求△OAB面积的最小值．12(A).是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？13(A).是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论。14(A).从1，2，……，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值。1、已知实数，满足，，则的值为（　）。A、7　　B、　　C、　　D、5［答］A解：因为＞0，≥0，由已知条件得，，所以　

10、＝2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（　　）。A、　　B、　　C、　　D、［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知　　△＝＞0，即9　　通过枚举知，满足条件的，有17对，故3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（　　）。A、6条　　B、8条　　C、10条　　D、12条ABCDEOF（

11、第3题答案图）［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点A、B、C、D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E、F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且D

12、B＝AB＝，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（　　）。ABCODE（第4题答案图）A、　　B、1　　C、　　D、［答］B解：如图，连接OE，OA，OB，设∠D＝，则∠ECA＝120°－＝∠EAC又因为∠ABO＝所以　△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝15、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（　　）。A、2种　　B、3种　　C、4种