2003年上海市普通高校春季高考数学试卷

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1、2003年上海市普通高校春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分48分）1．若复数满足，则的实部是__________.2．方程的解__________.3．在中，分别是、、所对的边。若，，，则__________.4．过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、ABCVE为直径的圆方程是________________.5．已知函数，则方程的解__________.6．如图，在底面边长为2的正三棱锥中，是的中点，若的面积是，则侧棱与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线。。。。。。。。。。。。。

2、。。。。。。。。上，则_____________.。。。。。。。。。。。。。8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有___________个点.。。。。。。。。。。。（1）（2）（3）（4）（5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）.10．若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行

3、15101051………………11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.12．在等差数列中，当时，必定是常数数列。然而在等比数列中，对某些正整数、，当时，非常数数列的一个例子是____________.二、填空题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是（）（A）（B）（C）（D）14．若非空集合，则“或”是“”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15．在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.4上述命题正确的是（）（A）①②（B）①④（C）②③（D）②③

4、④16．若，，则下列不等式恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）三、解答题（本大题满分86分）17.（本题满分12分）在直角坐标系中，已知点和点，其中.若向量与垂直，求的值.18.（本题满分12分）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？20.(本题满分14

5、分)本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.(1)求证：；(2)在任意中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角AA1B1BC1CMNP之间的关系式，并予以证明.21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若为正整数，证明：.22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.

6、已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.(1)求点的坐标；(2)若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为4，求的值；(2)对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离.已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.参考答案一、填空题1．12．23．24．5．16．7．38．9．10．11．3412．，与同为奇数或偶数二、选择题13．D14．B15．C16．B三、解答题17.由，得，利用，化简后得，于是或，，.18.由，解得，.方程的判别式.，，，由此得方程无实根.19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中则在2010年应该投入的电力型公交车

7、为（辆）。(2)记，依据题意，得。于是（辆），即，则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。20.(1)证：；(2)解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角.上述的二面角为,在中，，由于，有.21.(1)由题意，，又，所以。(2)当时，，它在上单调递增；当时，，它在上单调递增。(3)设，考查数列的变化规律：解不等式，由，上式化为解得，因得，于是，而所以